Suponiendo que X1,X2 ∈ Rn son vectores l.i, explique por qué si α ̸= 3 ocurre que los vectores v1 = X1 −X2 y v2 = X1 − α3 X2 son l.i. O enunciado...

Os vetores v1 = X1 - X2 e v2 = X1 - α3X2 são linearmente independentes se e somente se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear do outro. Suponha que v1 = av2, onde a é um escalar. Então, temos: X1 - X2 = a(X1 - α3X2) X1 - aX1 = X2 - aα3X2 (1 - a)X1 = (1 - aα3)X2 Como X1 e X2 são linearmente independentes, segue que (1 - a) = 0 e (1 - aα3) = 0. Portanto, a = 1 e α ≠ 3. Agora, suponha que v2 = bv1, onde b é um escalar. Então, temos: X1 - α3X2 = b(X1 - X2) (1 - b)X1 + bX2 = α3X2 Como X1 e X2 são linearmente independentes, segue que (1 - b) = 0 e b = α3. Portanto, α = 3, o que contradiz a hipótese inicial. Assim, concluímos que v1 e v2 são linearmente independentes se e somente se α ≠ 3.