¿Para qué valores de α y β ocurre que los vectores X1 = (4β, 10) ∈ R3 e X2 = (2α6, 2) ∈ R3 son l.d.? ¿Para qué valores de α y β los vectores son ...

Para que os vetores X1 e X2 sejam linearmente dependentes, é necessário que um deles seja múltiplo escalar do outro. Assim, temos: X1 = kX2, onde k é um escalar não nulo. Substituindo os valores dos vetores, temos: (4β, 10) = k(2α6, 2) Igualando as coordenadas correspondentes, temos: 4β = 2kα6 10 = 2k Resolvendo o sistema, temos: k = 5 α ≠ 0 β = 15/α Portanto, os valores de α e β para que os vetores X1 e X2 sejam linearmente dependentes são α ≠ 0 e β = 15/α. Para que os vetores X1 e X2 sejam linearmente independentes, é necessário que nenhum deles seja múltiplo escalar do outro. Assim, temos que: kX1 + lX2 = 0, onde k e l são escalares. Substituindo os valores dos vetores, temos: k(4β, 10) + l(2α6, 2) = (0, 0) Igualando as coordenadas correspondentes, temos: 4kβ + 2kα6 = 0 10k + 2l = 0 Resolvendo o sistema, temos: k = -lα3/5 β = α3/20 Portanto, os valores de α e β para que os vetores X1 e X2 sejam linearmente independentes são α ≠ 0 e β = α3/20.