Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução que satisfa...

Analisando as afirmativas: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. II. A solução do PVI é . III. O valor de uma das constantes da solução geral é . IV. A EDO dada não é homogênea. Vamos verificar cada uma delas: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. Para determinar as raízes da equação auxiliar, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico associado à equação diferencial. No caso, a equação auxiliar é r^2 - 4r + 4 = 0, que possui uma única raiz real e dupla, r = 2. Portanto, a afirmativa I está incorreta. II. A solução do PVI é . A solução geral da equação diferencial é y(x) = C1e^(2x) + C2xe^(2x), onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Substituindo as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0, obtemos o sistema de equações C1 = 1 e C1 + 2C2 = 0. Resolvendo esse sistema, encontramos C1 = 1 e C2 = -1/2. Portanto, a afirmativa II está correta. III. O valor de uma das constantes da solução geral é . A constante C2 da solução geral é igual a -1/2. Portanto, a afirmativa III está correta. IV. A EDO dada não é homogênea. Uma equação diferencial é considerada homogênea quando todos os termos da equação são lineares e não constantes. No caso, a equação diferencial dada é y'' - 4y' + 4y = 0, que possui apenas termos lineares e não constantes. Portanto, a afirmativa IV está incorreta. Dessa forma, as afirmativas corretas são: I. Apenas I e II estão corretas. Portanto, a alternativa correta é a letra a).