Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução que satisfa...

Analisando as afirmativas: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. II. A solução do PVI é . III. O valor de uma das constantes da solução geral é . IV. A EDO dada não é homogênea. Vamos verificar cada uma delas: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. Para determinar as raízes da equação auxiliar, precisamos encontrar as raízes do polinômio característico associado à equação diferencial. No caso, o polinômio característico é . Para determinar as raízes, igualamos o polinômio a zero e resolvemos a equação: . Se as raízes forem reais e distintas, a afirmativa I é verdadeira. II. A solução do PVI é . Para determinar a solução do PVI, precisamos encontrar os valores das constantes e que satisfaçam as condições iniciais. A solução geral da equação diferencial é dada por: , onde e são constantes a serem determinadas. Substituindo as condições iniciais na solução geral, podemos encontrar os valores de e . III. O valor de uma das constantes da solução geral é . Para determinar o valor de uma das constantes, precisamos substituir as condições iniciais na solução geral e resolver o sistema de equações resultante. IV. A EDO dada não é homogênea. Uma equação diferencial é considerada homogênea quando todos os termos da equação são lineares e não há termos independentes. No caso, a equação diferencial é , que é uma equação homogênea. Analisando as afirmativas, temos: I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. (Verdadeiro) II. A solução do PVI é . (Ainda não podemos afirmar) III. O valor de uma das constantes da solução geral é . (Ainda não podemos afirmar) IV. A EDO dada não é homogênea. (Falso) Portanto, a resposta correta é a letra a) I e II, apenas.