EP2. Se desea construir una caja rectangular cerrada con base cuadrada y volumen de 32000 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que requiera la...

Para encontrar las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de material, debemos optimizar el área de la superficie de la caja. Dado que la base es cuadrada, llamemos "x" a la longitud de un lado de la base. El volumen de la caja rectangular cerrada es igual al producto del área de la base por la altura. En este caso, el volumen es de 32000 cm³, por lo que tenemos: Volumen = Área de la base * Altura 32000 = x² * Altura Para minimizar el área de la superficie, debemos minimizar la suma de las áreas de las caras de la caja. La superficie total de la caja es igual a: Superficie Total = 2 * Área de la base + 4 * Área de las caras laterales Superficie Total = 2 * x² + 4 * x * Altura Ahora, podemos despejar la altura en términos de x utilizando la ecuación del volumen: Altura = 32000 / (x²) Sustituyendo la altura en la fórmula de la superficie total, obtenemos: Superficie Total = 2 * x² + 4 * x * (32000 / (x²)) Superficie Total = 2x² + 128000 / x Para encontrar las dimensiones que minimizan la superficie total, podemos derivar esta función con respecto a x y encontrar el valor de x que anula la derivada: d(Superficie Total) / dx = 4x - 128000 / x² Igualando la derivada a cero y resolviendo para x, encontramos: 4x - 128000 / x² = 0 4x³ - 128000 = 0 x³ = 32000 x = 32 Por lo tanto, las dimensiones de la caja que requieren la menor cantidad de material son una base cuadrada de 32 cm de lado y una altura de 32000 / (32²) = 31.25 cm.