Suponga que {A1, A2, ..., A9} es un conjunto linealmente independiente en M3×3 (R). Pruebe que {A1B,A2B, ..., A9B} es también un conjunto linealmen...

Para probar que {A1B, A2B, ..., A9B} también es un conjunto linealmente independiente, debemos demostrar que la única combinación lineal que iguala a cero es aquella en la que todos los coeficientes son cero. Supongamos que tenemos una combinación lineal de los elementos de {A1B, A2B, ..., A9B} que iguala a cero: c1(A1B) + c2(A2B) + ... + c9(A9B) = 0 Podemos factorizar B de cada término: (Bc1)A1 + (Bc2)A2 + ... + (Bc9)A9 = 0 Dado que {A1, A2, ..., A9} es un conjunto linealmente independiente, la única combinación lineal que iguala a cero es aquella en la que todos los coeficientes son cero. Por lo tanto, tenemos: Bc1 = 0 Bc2 = 0 ... Bc9 = 0 Dado que B es una matriz no nula, esto implica que c1 = c2 = ... = c9 = 0. Por lo tanto, {A1B, A2B, ..., A9B} también es un conjunto linealmente independiente. Espero que esto te ayude a demostrar que {A1B, A2B, ..., A9B} es un conjunto linealmente independiente. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacerla.