17. Sean X ∈Mn×1, B una matriz simétrica de tamaño n× n y considere la matriz A = B − 2 X tX XX t Pruebe, entrada por entrada, que At = A.

Para provar que At = A, precisamos mostrar que cada entrada da matriz transposta de A é igual à correspondente entrada de A. Dada a matriz A = B - 2XtX, vamos calcular a matriz transposta de A, At. A matriz transposta de A é obtida trocando as linhas pelas colunas. Portanto, para cada entrada (i, j) de A, a entrada correspondente em At será (j, i). Vamos calcular a entrada (i, j) de A: At(i, j) = A(j, i) = (B - 2XtX)(j, i) Agora, vamos calcular a entrada (i, j) de A: A(j, i) = (B - 2XtX)(j, i) = B(j, i) - 2(XtX)(j, i) Como B é uma matriz simétrica, temos que B(j, i) = B(i, j). Além disso, a multiplicação de uma matriz por sua transposta resulta em uma matriz simétrica. Portanto, (XtX)(j, i) = (XtX)(i, j). Substituindo essas igualdades na expressão de A(j, i), temos: A(j, i) = B(i, j) - 2(XtX)(i, j) Agora, vamos calcular a entrada (j, i) de At: At(i, j) = A(j, i) = B(i, j) - 2(XtX)(i, j) Comparando as duas expressões, vemos que At(i, j) = A(j, i) para todas as entradas (i, j) da matriz. Portanto, podemos concluir que At = A. Essa é a prova de que At = A, entrada por entrada.