Si A es una matriz de n× n tal que A3 = On, pruebe que (In − A)−1 = In + A+ A2.

Para provar que (In - A)^-1 = In + A + A^2, podemos usar a propriedade de que se A^3 = O, então (A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3. Neste caso, podemos substituir B por -A e obter: (A - (-A))(A^2 + A(-A) + (-A)^2) = A^3 - (-A)^3 (2A)(A^2 + A(-A) + A^2) = A^3 - (-A)^3 2A(A^2 - A^2 + A^2) = A^3 - (-A)^3 2A(3A^2) = A^3 - (-A)^3 6A^3 = A^3 - (-A)^3 6A^3 = A^3 + A^3 6A^3 = 2A^3 6 = 2 No entanto, chegamos a uma contradição, pois 6 não é igual a 2. Portanto, a afirmação de que (In - A)^-1 = In + A + A^2 não é verdadeira.