Considerar en R3 el producto escalar: 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + 3x3y3. Estudiar si las familias de ...

Para determinar si las familias de vectores dadas son bases ortonormales respecto al producto escalar dado, debemos verificar dos condiciones: 1. Ortogonalidad: Cada par de vectores en la familia debe ser ortogonal, es decir, su producto escalar debe ser igual a cero. 2. Normalización: Cada vector en la familia debe tener una norma igual a 1. Vamos a analizar cada una de las opciones: a) {(1, 0, 0), (-1, 1, 0), (1, -1, 1)} Para verificar la ortogonalidad, calculamos el producto escalar entre cada par de vectores: - 〈(1, 0, 0), (-1, 1, 0)〉 = 1*(-1) + 0*1 + 0*0 = -1 - 〈(1, 0, 0), (1, -1, 1)〉 = 1*1 + 0*(-1) + 0*1 = 1 - 〈(-1, 1, 0), (1, -1, 1)〉 = -1*1 + 1*(-1) + 0*1 = -2 Como los productos escalares no son todos iguales a cero, esta familia no es ortogonal. b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} Esta familia es la base canónica de R3, por lo que sabemos que es una base ortonormal respecto al producto escalar estándar en R3. Por lo tanto, también es una base ortonormal respecto al producto escalar dado. c) { (1/√5)(1, 0, 0), (1/√2)(-1, 1, 1), (1/√3)(1, 1, 1)} Para verificar la ortogonalidad, calculamos el producto escalar entre cada par de vectores: - 〈(1/√5)(1, 0, 0), (1/√2)(-1, 1, 1)〉 = (1/√5)(-1/√2) + 0*(1/√2) + 0*(1/√2) = -1/(√10) - 〈(1/√5)(1, 0, 0), (1/√3)(1, 1, 1)〉 = (1/√5)(1/√3) + 0*(1/√3) + 0*(1/√3) = 1/(√15) - 〈(1/√2)(-1, 1, 1), (1/√3)(1, 1, 1)〉 = (-1/√2)(1/√3) + (1/√2)(1/√3) + (1/√2)(1/√3) = 0 Como los productos escalares no son todos iguales a cero, esta familia no es ortogonal. d) { (1/√3)(0, 0, 1), (1, 0, 0), (1/√6)(3, -3, 1)} Para verificar la ortogonalidad, calculamos el producto escalar entre cada par de vectores: - 〈(1/√3)(0, 0, 1), (1, 0, 0)〉 = (1/√3)(1) + 0*0 + (0)(0) = 1/√3 - 〈(1/√3)(0, 0, 1), (1/√6)(3, -3, 1)〉 = (1/√3)(3/√6) + 0*(-3/√6) + (1/√3)(1/√6) = 1/√6 - 〈(1, 0, 0), (1/√6)(3, -3, 1)〉 = (1)(3/√6) + 0*(-3/√6) + (0)(1/√6) = 3/√6 Como los productos escalares no son todos iguales a cero, esta familia no es ortogonal. En resumen, la única familia de vectores que forma una base ortonormal respecto al producto escalar dado es la opción b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.