1. (10 Pontos) Para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2, faça 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2. Prove que este é um produto intern...

Para provar que 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2 é um produto interno sobre R2, precisamos verificar as seguintes propriedades: 1. Simetria: 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = 〈(y1, y2), (x1, x2)〉 2. Linearidade na primeira entrada: 〈(ax1 + bx2, x3), (y1, y2)〉 = a〈(x1, x2), (y1, y2)〉 + b〈(x2, x3), (y1, y2)〉 3. Conjugação: 〈(x1, x2), (x1, x2)〉 ≥ 0 e 〈(x1, x2), (x1, x2)〉 = 0 se e somente se (x1, x2) = (0, 0) Vamos verificar cada uma dessas propriedades: 1. Simetria: 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2 〈(y1, y2), (x1, x2)〉 = y1x1 − y1x2 − y2x1 + 3y2x2 Podemos ver que 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = 〈(y1, y2), (x1, x2)〉, portanto, a propriedade de simetria é satisfeita. 2. Linearidade na primeira entrada: 〈(ax1 + bx2, x3), (y1, y2)〉 = (ax1 + bx2)y1 - (ax1 + bx2)y2 - x3y1 + 3x3y2 = a(x1y1 - x1y2 - x3y1 + 3x3y2) + b(x2y1 - x2y2 - x3y1 + 3x3y2) = a〈(x1, x2), (y1, y2)〉 + b〈(x2, x3), (y1, y2)〉 Portanto, a propriedade de linearidade na primeira entrada é satisfeita. 3. Conjugação: 〈(x1, x2), (x1, x2)〉 = x1^2 - x1x2 - x2x1 + 3x2^2 = (x1^2 + 2x2^2) + (x1^2 - 2x1x2) - 2x1x2 = (x1^2 + 2x2^2) - 2x1x2 + (x1^2 - 2x1x2) = (x1^2 + 2x2^2) - 2x1x2 + (x1^2 - 2x1x2) + 4x1x2 - 4x1x2 = (x1^2 + 4x1x2 + 2x2^2) - 4x1x2 - 2x1x2 = (x1 + x2)^2 + x2^2 ≥ 0 Portanto, a propriedade de conjugação é satisfeita. Como todas as propriedades foram verificadas, podemos concluir que 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2 é um produto interno sobre R2.