1. En R3 con el producto escalar 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3, hallar la proyección ortogonal del vector x = (1, 1, 1) sobr...

Para encontrar a projeção ortogonal do vetor x = (1, 1, 1) sobre o subespaço F ≡ x1 + x2 + 2x3 = 0, podemos usar o método de projeção ortogonal. Passo 1: Encontre uma base para o subespaço F. Para isso, podemos escolher dois vetores linearmente independentes que satisfaçam a equação x1 + x2 + 2x3 = 0. Por exemplo, podemos escolher os vetores v1 = (1, -1, 0) e v2 = (0, -2, 1). Passo 2: Calcule o vetor de projeção ortogonal. O vetor de projeção ortogonal p de x sobre F é dado por p = projF(x) = ((x · v1) / ||v1||^2) * v1 + ((x · v2) / ||v2||^2) * v2, onde · representa o produto escalar e ||v|| representa a norma do vetor v. Calculando o produto escalar e as normas, temos: x · v1 = (1, 1, 1) · (1, -1, 0) = 1 - 1 + 0 = 0 ||v1||^2 = ||(1, -1, 0)||^2 = 1^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2 x · v2 = (1, 1, 1) · (0, -2, 1) = 0 - 2 + 1 = -1 ||v2||^2 = ||(0, -2, 1)||^2 = 0^2 + (-2)^2 + 1^2 = 5 Substituindo esses valores na fórmula do vetor de projeção, temos: p = ((0) / (2)) * (1, -1, 0) + ((-1) / (5)) * (0, -2, 1) p = (0, 0, 0) + (-1/5) * (0, -2, 1) p = (0, 0, 0) + (0, 2/5, -1/5) p = (0, 2/5, -1/5) Portanto, a projeção ortogonal do vetor x = (1, 1, 1) sobre o subespaço F ≡ x1 + x2 + 2x3 = 0 é p = (0, 2/5, -1/5).