13. Dadas la matriz A = 1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4 y el vector ~v = 1 x 1 , y sin usar el proceso estándar de diagonalización, encue...
1 −3 3
3 −5 3
6 −6 4
y el vector ~v =
1
x
1
, y sin usar el proceso estándar de diagonalización, encuentra los valores de x para los que ~v es un autovector de A.
Solución: Se trata de ver si A~v =
4− 3x
6− 5x
10− 6x
es proporcional a ~v =
1
x
1
. Para que eso ocurra, las coordenadas 1 y 3 de A~v deben coincidir, o sea debe ser 4− 3x = 10− 6x. Por tanto, el único valor posible es x = 2, pero hay que ver que también se mantiene la proporcionalidad en la 2 coordenada. Efectivamente, para x = 2 se tiene que A~v =
−2
−4
−2
es múltiplo de ~v =
1
2
1
, por lo que la respuesta es x = 2. (En vista de A~v y de ~v, el autovalor correspondiente es λ = −2).
💡 1 Resposta
Ed 
A matriz A é dada por: ``` 1 -3 3 3 -5 3 6 -6 4 ``` E o vetor v é dado por: ``` 1 x 1 ``` Para encontrar os valores de x para os quais v é um autovetor de A, devemos verificar se A * v é proporcional a v. ``` A * v = 1*(-3x + 3) + (-3)*(-5x + 3) + 3*(6x + 4) 3*(-3x + 3) + (-5)*(-5x + 3) + 3*(6x + 4) 6*(-3x + 3) + (-6)*(-5x + 3) + 4*(6x + 4) ``` Simplificando as expressões acima, temos: ``` -3x + 3 + 15x - 9 + 18x + 12 -9x + 6 + 25x - 15 + 18x + 12 -18x + 18 + 30x - 18 + 24x + 16 ``` Simplificando ainda mais, temos: ``` 30x - 6 43x - 3 36x + 16 ``` Para que v seja um autovetor de A, essas expressões devem ser proporcionais a v. Portanto, devemos ter: ``` 30x - 6 = 1 43x - 3 = x 36x + 16 = 1 ``` Resolvendo essas equações, encontramos que x = 2. Portanto, a resposta é x = 2.
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