Avaliação II - Individual Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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19/03/2024, 14:47 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:740425)
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Prova 45156492
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com 
uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de 
um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, escrever os elementos desse subespaço como 
combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes 
sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de 
bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F 
para as falsas:
( ) {(2,3),(-1,4)}.
( ) {(2,3),(-6,-9)}.
( ) {(1,5),(3,11)}.
( ) {(0,2),(0,0)}.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - F - V - F.
C V - V - F - F.
D F - F - F - V.
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços 
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R²
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - V.
B F - V - V - F.
C V - V - F - F.
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D F - F - V - V.
No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-
la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente 
utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para 
as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B V - F - F - F.
C F - F - V - V.
D V - F - V - V.
A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se 
também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento 
também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como 
sendo as extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F 
para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F - V.
B V - F - V - V - F.
C F - V - F - V - F.
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D F - V - V - F - V.
Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de 
uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado pelos 
vetores que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de 
vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. 
Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
A A transformação a seguir não é um operador linear.
B O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
C O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
D O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que 
normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear 
ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação 
opera com vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ 
em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas:
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
( ) A sua imagem tem dimensão 2.
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - V.
B V - F - V - V.
C F - V - F - V.
D V - V - F - F.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 
Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu 
principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a 
ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (0,-4,3).
( ) u x v = (-8,-1,2).
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( ) u x v = (8,1,-2).
( ) u x v = (0,4,3).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - F - F - V.
C F - V - F - F.
D F - F - V - F.
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas 
principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui 
a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação 
T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções II e III estão corretas.
B As opções I e III estão corretas.
C As opções II e IV estão corretas.
D As opções I e IV estão corretas.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de 
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema 
encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
A 1.
B 0.
C 3.
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D 2.
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo 
menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa 
CORREA que apresenta um conjunto de vetores LI:
A {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
B {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}.
C {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
D {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}.
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