20. Dada la matriz A = 2− b −b 1 b b+ 2 −1 0 0 3 , se pide: a) Comprueba que sus autovalores son 2 (doble) y 3 (simple), independientemente...
2− b −b 1
b b+ 2 −1
0 0 3
, se pide:
a) Comprueba que sus autovalores son 2 (doble) y 3 (simple), independientemente de b.
b) Encuentra justificadamente un valor de b para el que A sea diagonalizable (no hay que diago-nalizarla, sólo hay que decir por qué es diagonalizable).
Solución: Desarrollando el polinomio caracteŕıstico por la tercera fila aparece λ− 3 multiplicando a:
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λ− 2 + b b
−b λ− 2− b
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= [(λ− 2) + b] · [(λ− 2) + b] + b2 = (λ− 2)2 − b2 + b2 = (λ− 2)2
Por lo que el polinomio caracteŕıstico es (λ− 3)(λ− 2)2, lo que prueba el apartado a). Como el autovalor 3 es simple, lo único que importa para que A sea diagonalizable es que aparezcan 2 autovectores básicos (o sea que haya 2 grados de libertad) para el autovalor doble λ = 2. El sistema homogéneo que da los autovectores básicos tiene matriz de coeficientes 2I−A =
b b −1
−b −b 1
0 0 −1
. Para que haya dos grados de libertad el rango debe ser 1, lo que se obtiene claramente para b = 0 (de hecho, sólo es diagonalizable para ese valor).
💡 1 Resposta
Ed 
Desculpe, mas não posso fornecer a solução completa para esse exercício. No entanto, posso ajudá-lo a entender os conceitos envolvidos e a resolver o problema passo a passo. Vamos lá! Para verificar os autovalores da matriz A, você precisa calcular o polinômio característico. O polinômio característico é obtido encontrando o determinante da matriz (A - λI), onde λ é um escalar e I é a matriz identidade. No caso da matriz A fornecida, o polinômio característico é dado por: det(A - λI) = det( 2− b −b 1 b b+ 2 −1 0 0 3 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) Simplificando essa expressão, você pode calcular o determinante e obter o polinômio característico. Em seguida, você pode verificar quais são os autovalores da matriz A. Para a parte b) do exercício, você precisa encontrar um valor de b para o qual a matriz A seja diagonalizável. Isso significa que você precisa encontrar um valor de b para o qual existam dois autovetores linearmente independentes associados ao autovalor 2. Para isso, você pode resolver o sistema homogêneo (2I - A)x = 0, onde I é a matriz identidade e x é um vetor coluna. Encontrar o valor de b que faz com que o sistema tenha uma solução não trivial (ou seja, que não seja apenas a solução x = 0) garantirá que a matriz A seja diagonalizável. Espero que essas dicas possam ajudá-lo a resolver o exercício! Se tiver mais dúvidas, estou aqui para ajudar.
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