Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos conmutativo. Es también unitario pues 1 = 1 + 0i ∈ Z[i]. B) Un elemento a + bi ∈ Z[i] no nulo es invertible si y so...

Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos conmutativo. Es también unitario pues 1 = 1 + 0i ∈ Z[i]. B) Un elemento a + bi ∈ Z[i] no nulo es invertible si y sólo si existe un a′ + b′i ∈ Z[i] no nulo tal que (a + bi)(a′ + b′i) = 1. Tomando módulos al cuadrado, obtenemos (a2 + b2)(a′2 + b′2) = 1. Como los dos factores anteriores son enteros positivos, ha de ser necesaria- mente a2 +b2 = 1 o equivalentemente a = ±1 ∧ b = 0 o a = 0 ∧ b = ±1. Es decir, los únicos posibles elementos invertibles de Z[i] son 1,−1, i,−i. Pero estos elementos son invertibles al cumplirse: 1 · 1 = 1, (−1) · (−1) = 1, i · (−i) = 1, (−i) · i = 1. El conjunto de las unidades de Z[i] es por tanto U = {1,−1, i,−i}. 5.7. Anillo de clases residuales Para los siguientes anillos, construir sus tablas de Cayley de la suma y el producto, y determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista. a) Z3. b) Z4. c) Z6, d) Z2. Solución. a) Tenemos Z3 = {0, 1, 2} y las correspondientes tablas de Cayley son: + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 · 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 Los opuestos e inversos son: x 0 1 2 − x 0 2 1 x 0 1 2 x−1 6 ∃ 1 2 b) Tenemos Z4 = {0, 1, 2, 3} y las correspondientes tablas de Cayley son: + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 · 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 2 1 3 0 3 2 1