Demostrar que (F(X,R),+, ·) es anillo conmutativo y unitario. A este anillo se le llama anillo de las funciones reales.

Para demonstrar que o conjunto de funções reais, denotado por (F(X,R), +, ·), é um anel comutativo e unitário, precisamos verificar as seguintes propriedades: 1. Fechamento sob a operação de adição (+): Para quaisquer duas funções f(x) e g(x) em F(X,R), a soma f(x) + g(x) também pertence a F(X,R). 2. Associatividade da adição: Para quaisquer três funções f(x), g(x) e h(x) em F(X,R), temos que (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)). 3. Existência do elemento neutro aditivo: Existe uma função zero, denotada por 0(x), em F(X,R), tal que para qualquer função f(x) em F(X,R), temos que f(x) + 0(x) = f(x). 4. Existência do inverso aditivo: Para cada função f(x) em F(X,R), existe uma função -f(x) em F(X,R), tal que f(x) + (-f(x)) = 0(x). 5. Comutatividade da adição: Para quaisquer duas funções f(x) e g(x) em F(X,R), temos que f(x) + g(x) = g(x) + f(x). 6. Fechamento sob a operação de multiplicação (·): Para quaisquer duas funções f(x) e g(x) em F(X,R), o produto f(x) · g(x) também pertence a F(X,R). 7. Associatividade da multiplicação: Para quaisquer três funções f(x), g(x) e h(x) em F(X,R), temos que (f(x) · g(x)) · h(x) = f(x) · (g(x) · h(x)). 8. Comutatividade da multiplicação: Para quaisquer duas funções f(x) e g(x) em F(X,R), temos que f(x) · g(x) = g(x) · f(x). 9. Distributividade: Para quaisquer três funções f(x), g(x) e h(x) em F(X,R), temos que f(x) · (g(x) + h(x)) = (f(x) · g(x)) + (f(x) · h(x)). 10. Existência do elemento neutro multiplicativo: Existe uma função identidade, denotada por 1(x), em F(X,R), tal que para qualquer função f(x) em F(X,R), temos que f(x) · 1(x) = f(x). Após verificar todas essas propriedades, podemos concluir que (F(X,R), +, ·) é um anel comutativo e unitário, conhecido como o anel das funções reais.