5.28. Cuerpo infinito con caracteŕıstica finita Construir un cuerpo infinito con caracteŕıstica finita. Solución. Sea K un cuerpo, y sea K[[X]] ...

5.28. Cuerpo infinito con caracteŕıstica finita
Construir un cuerpo infinito con caracteŕıstica finita.
Solución. Sea K un cuerpo, y sea K[[X]] el conjunto de las series formales K[[X]] = ∑ n≥0 anX n : an ∈ K  .
Sabemos que K[[X]] es un dominio de integridad con las operaciones∑ n≥0 anX n + ∑ n≥0 bnX n = ∑ n≥0 (an + bn)X n, ∑ n≥0 anX n  · ∑ n≥0 bnX n  = ∑ n≥0 cnX n con cn = n∑ k=0 akbn−k.
Sea ahora p un número primo y llamemos F al cuerpo de fracciones del dominio de integridad Zp[[X]]. Dado que 1 ∈ Zp ⊂ F es el elemento neutro para la operación ·, se verifica que m = p es el menor entero positivo que satisface m1 = 0, en consecuencia la caracteŕıstica de F es p. Claramente el conjunto Zp[[X]] es infinito, por tanto lo es su cuerpo de fracciones, dado que Zp[[X]] ⊂ F .