1. Sea K un cuerpo de caracteŕıstica distinta de 0, a es un elemento del cuerpo K y p(x) ∈ K[x]. Demostrar que si a es ráız de orden k ≥ 1 de p(x...

Para demonstrar que se a é uma raiz de ordem k ≥ 1 de p(x), então a é uma raiz de ordem k - 1 de p'(x), podemos usar o Teorema do Resto e o Teorema de Rolle. Primeiro, vamos considerar a divisão de p(x) por x - a usando o Teorema do Resto. Isso nos dá: p(x) = q(x)(x - a) + r Onde q(x) é o quociente da divisão e r é o resto. Como a é uma raiz de p(x), temos que p(a) = 0, o que implica que r = 0. Portanto, podemos escrever: p(x) = q(x)(x - a) Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x: p'(x) = q'(x)(x - a) + q(x) Observe que p'(x) é a derivada de p(x) e q'(x) é a derivada de q(x). Agora, vamos substituir x = a na equação acima: p'(a) = q'(a)(a - a) + q(a) p'(a) = q(a) Como a é uma raiz de ordem k de p(x), temos que p(a) = 0. Portanto, q(a) = 0. Isso implica que p'(a) = 0. Assim, mostramos que se a é uma raiz de ordem k ≥ 1 de p(x), então a é uma raiz de ordem k - 1 de p'(x).