Caṕıtulo 4. Grupos 4. Demostrar que cada elemento de F tiene inverso en F. Si fCD es el inverso de fAB, calcular C y D en términos de A y B. Apli...

Caṕıtulo 4. Grupos
4. Demostrar que cada elemento de F tiene inverso en F. Si fCD es el inverso de fAB, calcular C y D en términos de A y B. Aplicación al cálculo del inverso de fAB cuando A = [ 2 1 1 1 ] , B = [ 1 0 2 0 −1 1 ] .
5. Sea la aplicación h : F → R∗ (grupo multiplicativo de R − {0}) definido por h(fAB) = detA. ¿Es h un homomorfismo de grupos? Se considera el subconjunto F1 de F formado por las fAB tales que detA = 1 ¿Es F1 subgrupo de F? En caso afirmativo, ¿es F1 subgrupo normal? (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).
Solución. 1. Usando la definición de composición de aplicaciones: (fA2B2 ◦ fA1B1)(X) = fA2B2 [fA1B1(X)] = fA2B2(A1X +B1) = A2(A1X +B1) +B2 = (A2A1)X + (A2B1 +B2) = fA2A1,A2B1+B2(X). Dado que A2A1 es matriz real 2 × 2 invertible (producto de invertibles) y A2B1 + B2 es matriz real 2 × 3, se concluye que fA2B2 ◦ fA1B1 ∈ M es decir, la composición de aplicaciones es una ley de composición interna en F.
2. Eligiendo I la matriz identidad real de orden 2× 2 (que es invertible) y 0 la matriz nula real de orden 2× 3 obtenemos fI,0(X) = IX + 0 = X = i(X) para toda matriz X ∈ M es decir, i = fI,0 ∈ F. La función i es el elemento unidad de f pues para toda fAB de F tenemos: (fAB ◦ i)(X) = fAB[i(X)] = fAB(X)⇒ fAB ◦ i = fAB. (i ◦ fAB)(X) = i[fAB(X)] = fAB(X)⇒ i ◦ fAB = fAB.
3. La propiedad asociativa en F se enuncia de la siguiente manera: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) ∀f, g, h ∈ F. Veamos que es cierta. En efecto, para todo X ∈M se verifica ((f ◦ g) ◦ h)(X) = (f ◦ g)(h(X)) = f(g(h(X))) = f((g ◦ h)(X)) = (f ◦ (g ◦ h))(X). Veamos que no es cierta la propiedad conmutativa. De lo demostrado en el primer apartado deducimos que fA2B2 ◦ fA1B1 = fA2A1,A2B1+B2 , fA1B1 ◦ fA2B2 = fA1A2,A1B2+B1 . Elijamos por ejemplo