3. Demostrar que H − {E} es un grupo con la operación producto de cua-ternios. Precisar el elemento unidad U . Demostrar que el inverso A−1 de A =...

Para demonstrar que H - {E} é um grupo com a operação produto de quaterniões, precisamos verificar as seguintes propriedades: 1. Fechamento: Para todo par de elementos A e B em H - {E}, o produto A * B também pertence a H - {E}. 2. Associatividade: Para todo A, B e C em H - {E}, temos que (A * B) * C = A * (B * C). 3. Elemento neutro: Existe um elemento U em H - {E} tal que, para todo A em H - {E}, temos que A * U = U * A = A. 4. Inverso: Para todo A em H - {E}, existe um elemento A⁻¹ em H - {E} tal que A * A⁻¹ = A⁻¹ * A = U. O elemento neutro U é o quaternião (1, 0), onde 1 é o elemento neutro da multiplicação dos números reais e 0 é o vetor nulo. Para encontrar o inverso A⁻¹ de A = (a, ~α), onde a é um número real e ~α é um vetor, podemos usar a fórmula: A⁻¹ = (a / (a² + ~α²), -~α / (a² + ~α²)) Dessa forma, temos que H - {E} é um grupo com a operação produto de quaterniões, e o elemento neutro U é (1, 0).