8.1 Determinantes sencillos (1) Solución. 1. a) ∣∣∣∣ 3 4−2 7 ∣∣∣∣ = 3 · 7− (−2) · 4 = 21 + 8 = 29. b) ∣∣∣∣x+ 1 −x−x x+ 1 ∣∣∣∣ = (x+ 1)2 − x2 = x2 ...

8.1 Determinantes sencillos (1) Solución. 1. a) ∣∣∣∣ 3 4−2 7 ∣∣∣∣ = 3 · 7− (−2) · 4 = 21 + 8 = 29. b) ∣∣∣∣x+ 1 −x−x x+ 1 ∣∣∣∣ = (x+ 1)2 − x2 = x2 + 2x+ 1− x2 = 2x+ 1. c) ∣∣∣∣cosα − senαsenα cosα ∣∣∣∣ = cos2 α+ sen2 α = 1. d) ∣∣∣∣z −1z z ∣∣∣∣ = z2 + z = z(z + 1) = (−1/2 + √3/2i)(1/2 + √3/2i) = −1/4 − 3/4 = −1. 2. a) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 6− 16 = −10. b) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 1− 1 = 0. c) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 6− 2 = 4. d) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 6− 5 = 1. 3. Restando a la segunda columna la primera: ∆ = ∣∣∣∣13547 10028423 100 ∣∣∣∣ = 100 ∣∣∣∣13547 128423 1 ∣∣∣∣ = 100(13547− 28423) = 100(−14876) = −1 487 600. 4. Podemos escribir: ∣∣∣∣a 00 b ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 01 b ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ 1 01 b ∣∣∣∣ ,∣∣∣∣1 11 1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a 10 1 ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ 1 11 1 ∣∣∣∣ . Por tanto, ∣∣∣∣a 00 b ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 01 b ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 11 1 ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a 10 1 ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ 1 01 b ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a+ 1 11 1 ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣1 + a 11 1 + b ∣∣∣∣ . 5. Aplicando la regla de Sarrus: a) ∆ = 2 · 2 · 2 + 1 · 1 · 0 + 3 · 1 · 3− 3 · 2 · 0− 1 · 1 · 2− 1 · 3 · 2 = 8 + 0 + 9− 0− 2− 6 = 9. b) ∆ = 2 · 2 · 2 + 1 · 1 · 0 + 3 · 1 · 3− 3 · 2 · 0− 1 · 1 · 2− 1 · 3 · 2 = 4 · 2 + 1 · 0 + 3 · 3− 1 · 0− 1 · 2− 3 · 2 = 3 + 0 + 4− 0− 2− 1 = 2− 3 = 3 + 4 + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 = 0 + 4 = 4.