problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (212)

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8.1 Determinantes sencillos (1)
Solución. 1. a)
∣∣∣∣ 3 4−2 7
∣∣∣∣ = 3 · 7− (−2) · 4 = 21 + 8 = 29.
b)
∣∣∣∣x+ 1 −x−x x+ 1
∣∣∣∣ = (x+ 1)2 − x2 = x2 + 2x+ 1− x2 = 2x+ 1.
c)
∣∣∣∣cosα − senαsenα cosα
∣∣∣∣ = cos2 α+ sen2 α = 1.
d)
∣∣∣∣z −1z z
∣∣∣∣ = z2 + z = z(z + 1)
=
(
−1
2
+
√
3
2
i
)(
1
2
+
√
3
2
i
)
= −1
4
− 3
4
= −1.
2. a) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 6− 16 = −10.
b) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 1− 1 = 0.
c) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 6− 2 = 4.
d) detA = 3 · 2− 4 · 4 = 6− 5 = 1.
3. Restando a la segunda columna la primera:
∆ =
∣∣∣∣13547 10028423 100
∣∣∣∣ = 100 ∣∣∣∣13547 128423 1
∣∣∣∣
= 100(13547− 28423) = 100(−14876) = −1 487 600.
4. Podemos escribir: ∣∣∣∣a 00 b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 01 b
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ 1 01 b
∣∣∣∣ ,∣∣∣∣1 11 1
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a 10 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a+ 1 11 1
∣∣∣∣ .
Por tanto, ∣∣∣∣a 00 b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 01 b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 11 1
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a 10 1
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣a+ 1 01 b
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a+ 1 11 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣1 + a 11 1 + b
∣∣∣∣ .
5. Aplicando la regla de Sarrus:
a) ∆ = 2 · 2 · 2 + 1 · 1 · 0 + 3 · 1 · 3− 3 · 2 · 0− 1 · 1 · 2− 1 · 3 · 2
= 8 + 0 + 9− 0− 2− 6 = 9.
b) ∆ = 2 · 2 · 2 + 1 · 1 · 0 + 3 · 1 · 3− 3 · 2 · 0− 1 · 1 · 2− 1 · 3 · 2
= 4 · 2 + 1 · 0 + 3 · 3− 1 · 0− 1 · 2− 3 · 2
= 3 + 0 + 4− 0− 2− 1 = 2− 3 = 3 + 4 + 3 + 4 = 2 + 3 + 4 = 0 + 4 = 4.