1. Resolver la ecuación ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 2 x 3 −1 4 x2 9 1 8 x3 27 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0. 2. Calcular ∆ = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 log 2 log 20 log 200 log 2000...

1. Para resolver a equação, podemos utilizar o método de determinantes. Vamos calcular o determinante da matriz dada e igualá-lo a zero: | 1 1 1 1 | | 2 x 3 -1 | | 4 x² 9 1 | | 8 x³ 27 -1 | O determinante dessa matriz é dado por: det = 1 * (x * 9 * -1 - 3 * 27) - 1 * (2 * 9 * -1 - 4 * 27) + 1 * (2 * 27 - 4 * x²) - 1 * (2 * 3 - x * 27) Simplificando essa expressão, temos: det = -18x - 54 + 54 - 54x² + 6 - 27x det = -54x² - 45x + 60 Agora, igualamos o determinante a zero e resolvemos a equação: -54x² - 45x + 60 = 0 Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por -3: 18x² + 15x - 20 = 0 Agora, podemos resolver essa equação utilizando o método de fatoração, Bhaskara ou completando o quadrado. 2. Para calcular Δ, vamos utilizar o determinante da matriz dada: | 1 1 1 1 | | log2 log20 log200 log2000 | | log²2 log²20 log²200 log²2000 | | log³2 log³20 log³200 log³2000 | O determinante dessa matriz é dado por: Δ = 1 * (log20 * log²200 * log³2000 - log200 * log²2000 * log³20) - 1 * (log2 * log²200 * log³2000 - log²2 * log²2000 * log³20) + 1 * (log2 * log200 * log³2000 - log²2 * log²200 * log³2000) - 1 * (log2 * log200 * log²2000 - log²2 * log20 * log³2000) Simplificando essa expressão, temos: Δ = log20 * log²200 * log³2000 - log200 * log²2000 * log³20 - log2 * log²200 * log³2000 + log²2 * log²2000 * log³20 + log2 * log200 * log³2000 - log²2 * log²200 * log³2000 - log2 * log200 * log²2000 + log²2 * log20 * log³2000 3. A fórmula do determinante de Vandermonde é dada por: V(x1, ..., xn) = ∏(1 ≤ i < j ≤ n)(xj - xi) Essa fórmula é utilizada para calcular o determinante da matriz de Vandermonde, que possui a seguinte forma: | 1 1 1 ... 1 | | x1 x2 x3 ... xn | | x₁² x₂² x₃² ... xₙ² | | x₁³ x₂³ x₃³ ... xₙ³ | | ... ... ... ... ... | | x₁ⁿ⁻¹ x₂ⁿ⁻¹ x₃ⁿ⁻¹ ... xₙⁿ⁻¹ | O determinante dessa matriz é calculado utilizando a fórmula de Vandermonde.