Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo 8.9. Determinante y sucesión de Fibonacci Sea 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . la sucesión de Fibonacci y cons...

Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo
8.9. Determinante y sucesión de Fibonacci
Sea 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . la sucesión de Fibonacci y consideremos la matriz:
An =

1 1 0 0 . . . 0 0
−1 1 1 0 . . . 0 0
0 −1 1 1 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . −1 1
 .
Probar que detAn coincide con el termino enésimo de la sucesión.
Solución. La sucesión de Fibonacci {xn} está determinada por las condi-
ciones x1 = 1, x2 = 2 y xn = xn−1 + xn−2 si n ≥ 3. Tenemos
|A1| = |1| = 1, |A2| =
∣∣∣∣ 1 1−1 1
∣∣∣∣ = 2.
Por otra parte, desarrollando por los elementos de la primera columna para
n ≥ 3, obtenemos
|An| = 1 · |An−1|+ (−1)(−1) ·
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 . . . 0 0
−1 1 1 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
orden n−1
= |An−1|+ 1 · |An−2| = |An−1|+ |An−2| .
Concluimos que {|An|} es la sucesión de Fibonacci.