Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo Los elementos del determinante ∆1 son números enteros, y dado que la suma resta y producto de enteros s...

Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo
Los elementos del determinante ∆1 son números enteros, y dado que la suma
resta y producto de enteros son operaciones internas en Z, deducimos que
∆1 es entero, en consecuencia ∆ es múltiplo de 15.
4. Usando que si a una linea de un determinante se la multiplica por k, el
determinante queda multiplicado por k:∣∣∣∣∣∣
2y xy 2x
x 2 y
x2 4 y2
∣∣∣∣∣∣ = 1x 1y
∣∣∣∣∣∣
2yx xy 2xy
x2 2 y2
x3 4 y3
∣∣∣∣∣∣
=
xy
xy
∣∣∣∣∣∣
2 1 2
x2 2 y2
x3 4 y3
∣∣∣∣∣∣ = 12
∣∣∣∣∣∣
2 2 2
x2 4 y2
x3 8 y3
∣∣∣∣∣∣ = 22
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
x2 4 y2
x3 8 y3
∣∣∣∣∣∣ .
5.
A2 =

−1 −1 −1 −1
−1 −1 1 1
−1 1 −1 1
−1 1 1 −1


−1 −1 −1 −1
−1 −1 1 1
−1 1 −1 1
−1 1 1 −1
 =

4 0 0 0
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4

= 4I ⇒ AA = 4I ⇒ A
(
1
4
A
) = I ⇒ A−1 = 1
4
A.
Restando a las filas 2, 3, y 4, la primera
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 −1 −1 −1
0 0 2 2
0 2 0 2
0 2 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(8 + 8) = −16.
6. La primera, segunda y tercera fila son divisibles por x− 1, x− 2 y x− 3
respectivamente. Podemos escribir:
∆ =
∣∣∣∣∣∣
x− 1 (x+ 1)(x− 1) (x− 1)(x2 + x+ 1)
2(x− 2) (x+ 2)(x− 2) (x− 2)(x2 + 2x+ 4)
3(x− 3) (x+ 3)(x− 3) (x− 3)(x2 + 3x+ 9)
∣∣∣∣∣∣
= (x− 1)(x− 2)(x− 3)
∣∣∣∣∣∣
1 x+ 1 x2 + x+ 1
2 x+ 2 x2 + 2x+ 4
3 x+ 3 x2 + 3x+ 9
∣∣∣∣∣∣ .
Efectuando las transformaciones F2 − 2F1 y F3 − 3F1 :
∆ = (x− 1)(x− 2)(x− 3)
∣∣∣∣∣∣
1 x+ 1 x2 + x+ 1
0 −x −x2 + 2
0 −2x −2x2 + 6
∣∣∣∣∣∣