1. Analizar si F = {(x1, x2, x3) : x1 − x2 + 2x3 = 0} es subespacio de R3.

Para analisar se F = {(x1, x2, x3) : x1 − x2 + 2x3 = 0} é um subespaço de R3, precisamos verificar se ele atende às três condições para ser considerado um subespaço: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) pertence a F. 2. Se (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) pertencem a F, então sua soma (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) também pertence a F. 3. Se (x1, x2, x3) pertence a F e k é um escalar, então o vetor k(x1, x2, x3) também pertence a F. Vamos verificar cada uma dessas condições: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) satisfaz a equação x1 − x2 + 2x3 = 0, portanto, o vetor nulo pertence a F. 2. Se (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) pertencem a F, então temos: x1 − x2 + 2x3 = 0 y1 − y2 + 2y3 = 0 Somando essas duas equações, obtemos: (x1 + y1) − (x2 + y2) + 2(x3 + y3) = 0 Portanto, a soma (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) também pertence a F. 3. Se (x1, x2, x3) pertence a F e k é um escalar, então temos: x1 − x2 + 2x3 = 0 Multiplicando essa equação por k, obtemos: k(x1 − x2 + 2x3) = 0 Simplificando, temos: (kx1 − kx2) + 2kx3 = 0 Portanto, o vetor k(x1, x2, x3) também pertence a F. Como F satisfaz todas as três condições, podemos concluir que F é um subespaço de R3.