2. Analizar si F = {(x1, x2, x3) : x21 − x22 = 0} es subespacio de R3.

Para analisar se F = {(x1, x2, x3) : x1^2 − x2^2 = 0} é um subespaço de R3, precisamos verificar se ele atende às três condições para ser um subespaço: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) pertence a F. 2. Se (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) pertencem a F, então sua soma (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) também pertence a F. 3. Se (x1, x2, x3) pertence a F e k é um escalar, então o vetor k(x1, x2, x3) também pertence a F. Vamos verificar cada uma dessas condições: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) satisfaz a equação x1^2 − x2^2 = 0, portanto, o vetor nulo pertence a F. 2. Suponha que (x1, x2, x3) e (y1, y2, y3) pertençam a F, ou seja, x1^2 − x2^2 = 0 e y1^2 − y2^2 = 0. Agora, vamos verificar se a soma (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) também satisfaz a equação x^2 − y^2 = 0: (x1 + y1)^2 − (x2 + y2)^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 − x2^2 − 2x2y2 − y2^2 = (x1^2 − x2^2) + (y1^2 − y2^2) + 2x1y1 − 2x2y2. Como x1^2 − x2^2 = 0 e y1^2 − y2^2 = 0, temos: (x1 + y1)^2 − (x2 + y2)^2 = 0 + 0 + 2x1y1 − 2x2y2 = 2(x1y1 − x2y2). Portanto, para que a soma (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) pertença a F, é necessário que 2(x1y1 − x2y2) = 0. No entanto, isso nem sempre é verdade, então F não é fechado para a adição e não é um subespaço de R3. Portanto, concluímos que F = {(x1, x2, x3) : x1^2 − x2^2 = 0} não é um subespaço de R3.