5. Sea E espacio vectorial sobre K y S = {v1, v2, . . . , vm} ⊂ E. Demostrar que: (a) L[S] es subespacio vectorial de E. (b) L[S] es el menor de to...

Para demonstrar que L[S] é um subespaço vetorial de E, precisamos verificar duas condições: fechamento sob a adição vetorial e fechamento sob a multiplicação por escalar. (a) Fechamento sob a adição vetorial: Sejam u, v ∈ L[S]. Isso significa que existem escalares a1, a2, ..., am e b1, b2, ..., bm em K tais que u = a1v1 + a2v2 + ... + amvm e v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm. Agora, vamos considerar a soma u + v: u + v = (a1v1 + a2v2 + ... + amvm) + (b1v1 + b2v2 + ... + bmvm) = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + ... + (am + bm)vm Como a1 + b1, a2 + b2, ..., am + bm são escalares em K, podemos concluir que u + v ∈ L[S]. Portanto, L[S] é fechado sob a adição vetorial. (b) Fechamento sob a multiplicação por escalar: Seja u ∈ L[S] e c ∈ K. Isso significa que existe um conjunto de escalares a1, a2, ..., am em K tal que u = a1v1 + a2v2 + ... + amvm. Agora, vamos considerar o produto c * u: c * u = c * (a1v1 + a2v2 + ... + amvm) = (ca1)v1 + (ca2)v2 + ... + (cam)vm Como ca1, ca2, ..., cam são escalares em K, podemos concluir que c * u ∈ L[S]. Portanto, L[S] é fechado sob a multiplicação por escalar. Assim, demonstramos que L[S] é um subespaço vetorial de E. Para demonstrar que L[S] é o menor de todos os subespaços vetoriais de E que contêm S, precisamos mostrar que qualquer outro subespaço vetorial que contenha S também contém L[S]. Suponha que W seja um subespaço vetorial de E que contenha S. Precisamos mostrar que L[S] ⊆ W. Como S ⊆ L[S], qualquer vetor em S também está em L[S]. Além disso, como W é um subespaço vetorial, ele é fechado sob a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Portanto, qualquer combinação linear dos vetores em S também está em W. Assim, podemos concluir que L[S] ⊆ W. Portanto, L[S] é o menor de todos os subespaços vetoriais de E que contêm S. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.