3. Sean u, v, w vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real E. Demostrar que u + v, u − v, u − 2v + w también son linealmente...

Para demonstrar que os vetores u + v, u - v e u - 2v + w também são linearmente independentes, podemos usar a definição de independência linear. Suponha que existam escalares a, b e c tais que: a(u + v) + b(u - v) + c(u - 2v + w) = 0 Podemos expandir essa expressão: au + av + bu - bv + cu - 2cv + cw = 0 Agora, agrupamos os termos comuns: (u)(a + b + c) + (v)(a - b - 2c) + (w)(c) = 0 Como u, v e w são linearmente independentes, isso implica que os coeficientes correspondentes devem ser iguais a zero: a + b + c = 0 a - b - 2c = 0 c = 0 A partir da terceira equação, podemos concluir que c = 0. Substituindo esse valor nas duas primeiras equações, temos: a + b = 0 a - b = 0 Somando as duas equações, obtemos: 2a = 0 Isso implica que a = 0. Substituindo esse valor em uma das equações anteriores, temos: b = 0 Portanto, concluímos que a = b = c = 0, o que mostra que os vetores u + v, u - v e u - 2v + w são linearmente independentes.