6. Sea U un subespacio de M3(R) de dimensión 4. Demostrar que U contiene alguna matriz simétrica no nula.

Para demonstrar que um subespaço U de dimensão 4 em M3(R) contém alguma matriz simétrica não nula, podemos usar o fato de que a dimensão de U é 4. Sabemos que a dimensão de U é igual ao número máximo de vetores linearmente independentes que podemos escolher em U. Como U é um subespaço de M3(R), podemos representar as matrizes em U como combinações lineares de vetores da forma: U = {a1 * v1 + a2 * v2 + a3 * v3 + a4 * v4 | a1, a2, a3, a4 ∈ R} Onde v1, v2, v3 e v4 são vetores linearmente independentes em U. Agora, vamos considerar a matriz simétrica S definida como: S = v1 * v1^T + v2 * v2^T + v3 * v3^T + v4 * v4^T Onde v1^T, v2^T, v3^T e v4^T são as transpostas dos vetores v1, v2, v3 e v4, respectivamente. Podemos ver que S é uma matriz simétrica, pois a transposta de uma matriz é igual a ela mesma. Além disso, podemos observar que S pertence a U, pois é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3 e v4, que também pertencem a U. Portanto, demonstramos que o subespaço U de dimensão 4 em M3(R) contém alguma matriz simétrica não nula.