Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n > 0 y f : E → E un endomorfismo que cumple dim(Im f) ≥ dim(ker f) y f2 = 0. Demostrar que n es pa...

Para demonstrar que n é par, podemos usar as informações fornecidas sobre o endomorfismo f. Sabemos que f^2 = 0, o que significa que o endomorfismo f aplicado duas vezes resulta em zero. Isso implica que a imagem de f está contida no núcleo de f. Além disso, temos a informação de que a dimensão da imagem de f é maior ou igual à dimensão do núcleo de f. Suponha que n seja ímpar. Nesse caso, a dimensão de E é ímpar. Se a dimensão de E é ímpar, então a dimensão do núcleo de f também é ímpar, pois o núcleo de f é um subespaço vetorial de E. No entanto, isso contradiz a informação de que a dimensão da imagem de f é maior ou igual à dimensão do núcleo de f. Se a dimensão do núcleo de f é ímpar, então a dimensão da imagem de f também seria ímpar, o que é uma contradição. Portanto, concluímos que n deve ser par.