1. Sea R5[x] el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor que 6 con coeficientes en R. Se considera la aplicación T : R5[x]→ R5[x] d...

Para demostrar que T es lineal, precisamos verificar duas propriedades: a aditividade e a homogeneidade. 1. Aditividade: Sejam p(x) e q(x) dois polinômios em R5[x]. Vamos mostrar que T(p(x) + q(x)) = T(p(x)) + T(q(x)). T(p(x) + q(x)) = (p(x + 1) + q(x + 1)) - (p(x) + q(x)) (aplicando a definição de T) = (p(x + 1) - p(x)) + (q(x + 1) - q(x)) (reorganizando os termos) = T(p(x)) + T(q(x)) (aplicando a definição de T) Portanto, a propriedade de aditividade é satisfeita. 2. Homogeneidade: Seja p(x) um polinômio em R5[x] e k um escalar em R. Vamos mostrar que T(kp(x)) = kT(p(x)). T(kp(x)) = (kp(x + 1)) - (kp(x)) (aplicando a definição de T) = k(p(x + 1) - p(x)) (distribuindo o k) = kT(p(x)) (aplicando a definição de T) Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita. Assim, concluímos que a aplicação T é linear.