3. En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 2 se define el producto escalar 〈p, q〉 = 1/2 ∫ 1 -1 p(x)q(x) dx. Halla...

Para encontrar una base ortonormal del subespacio F = L[1, x], primero necesitamos encontrar una base para F y luego aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal. El subespacio F = L[1, x] está formado por todos los polinomios de la forma p(x) = a + bx, donde a y b son constantes reales. Para encontrar una base para F, podemos tomar dos polinomios linealmente independientes en F. En este caso, podemos elegir los polinomios p1(x) = 1 y p2(x) = x. Ahora, aplicaremos el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal a partir de estos dos polinomios. 1. Normalización de p1(x): q1(x) = p1(x) / ||p1(x)|| = 1 / √(∫[-1,1] 1^2 dx) = 1 / √2 2. Proyección ortogonal de p2(x) sobre q1(x): q2(x) = p2(x) - 〈p2, q1〉q1(x) = x - ∫[-1,1] x(1/2) dx = x - 0 = x Por lo tanto, una base ortonormal para F es {q1(x) = 1/√2, q2(x) = x}. Para encontrar la proyección ortogonal del vector x^2 sobre F, necesitamos descomponer x^2 en la base ortonormal {q1(x), q2(x)} y luego tomar la suma de las proyecciones de x^2 sobre cada vector de la base. La proyección ortogonal de x^2 sobre q1(x) es: projF(x^2) = 〈x^2, q1〉q1(x) = ∫[-1,1] x^2(1/2) dx * (1/√2) = (1/2) * (2/3) * (1/√2) = 1/3√2 La proyección ortogonal de x^2 sobre q2(x) es: projF(x^2) = 〈x^2, q2〉q2(x) = ∫[-1,1] x^2(x) dx * x = (1/3) * (1/2) * (x^3) |[-1,1] = (1/3) * (1/2) * (1 - (-1)) = 1/3 Por lo tanto, la proyección ortogonal de x^2 sobre F es la suma de estas proyecciones: projF(x^2) = 1/3√2 + 1/3 Espero que esto te ayude a resolver el problema. Si tienes alguna otra pregunta, no dudes en hacerla.