1. Sea E un espacio vectorial real y f : E → E el endomorfismo cuya matriz en una determinada base B = {u1, u2} es A = [ 2 2 1 3 ]. (a) Estudiar si...

Para determinar se o endomorfismo f é diagonalizável, precisamos verificar se existem autovetores suficientes para formar uma base de E. Primeiro, encontramos os autovalores de f. Para isso, resolvemos a equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz dada e λ é o autovalor desconhecido. Calculando o determinante, temos: | 2-λ 2 | | 1 3-λ | (2-λ)(3-λ) - 2 = 0 λ² - 5λ + 4 = 0 (λ - 1)(λ - 4) = 0 Portanto, os autovalores são λ₁ = 1 e λ₂ = 4. Agora, para cada autovalor, encontramos os autovetores correspondentes resolvendo o sistema de equações (A - λI)v = 0. Para λ₁ = 1: | 2-1 2 | | 1 3-1 | | 1 2 | | 1 2 | v₁ = t(2, -1), onde t é um escalar. Para λ₂ = 4: | 2-4 2 | | 1 3-4 | |-2 2 | | 1 -1 | v₂ = t(1, 2), onde t é um escalar. Portanto, temos dois autovetores: v₁ = (2, -1) e v₂ = (1, 2). Se os autovetores formarem uma base de E, então f é diagonalizável. Neste caso, eles formam uma base, pois são linearmente independentes. Assim, a base de E formada pelos autovetores é B = {(2, -1), (1, 2)}. Para encontrar a matriz diagonal D e a matriz inversa P, usamos a fórmula P⁻¹AP = D. P = [v₁ v₂] = [(2, -1), (1, 2)] P⁻¹ = [(2/5, 1/5), (-1/5, 2/5)] D = [λ₁ 0 ] [ 0 λ₂] D = [1 0 ] [ 0 4] Portanto, encontramos a base de autovetores B = {(2, -1), (1, 2)}, a matriz inversa P⁻¹ = [(2/5, 1/5), (-1/5, 2/5)] e a matriz diagonal D = [1 0 ; 0 4].