De forma equivalente, xk+1 = Axk . Podemos escribir: xk = Axk−1 = A 2xk−2 = A 3xk−3 = . . . = A k−1x1 (∀k ∈ N∗). 2. Valores propios de la matriz A:...

De forma equivalente, xk+1 = Axk . Podemos escribir:
xk = Axk−1 = A
2xk−2 = A
3xk−3 = . . . = A
k−1x1 (∀k ∈ N∗).
2. Valores propios de la matriz A:∣∣∣∣∣∣
−λ 1 0
0 −λ 1
1/2 1/2 −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + (1/2)λ+ (1/2) = 0.
Resolviendo la ecuación obtenemos λ1 = 1, λ2 = (−1+i)/2, λ3 = (−1−i)/2.
Existe al menos un valor propio que no es real, por tanto la matriz no es
diagonalizable en R. Al ser los tres valores propios complejos y simples se
puede asegurar que es diagonalizable en C. Una matriz diagonal semejante
a A es por tanto D = diag(λ1, λ2, λ3).
3. Si λ ∈ C es valor propio de M entonces existe un vector z ∈ Cn con
z 6= 0 tal que Mz = λz. Tomando conjugados y teniendo en cuenta que
M = M , obtenemos Mz̄ = λ̄z̄ lo cual implica que z̄ es vector propio de M
correspondiente a λ̄. Determinemos los subespacios propios de A :