Caṕıtulo 12. Formas canónicas de Jordan la solución general es x1 = h2 − 2α+ 5β x2 = α x3 = β (α, β ∈ R). Vector e1. En este caso, h1 = h2 = ...

Caṕıtulo 12. Formas canónicas de Jordan la solución general es x1 = h2 − 2α+ 5β x2 = α x3 = β (α, β ∈ R). Vector e1. En este caso, h1 = h2 = h3 = 0 y la solución general de (1) es e1 = (−2α + 5β, α, β). Este vector x estará de h en el siguiente sis- tema, aśı que le imponemos las condiciones de compatibilidad, es decir −2α + 5β = 3α y α = β. En consecuencia podemos elegir α = β = 1 y obtenemos el vector e1 = (3, 1, 1) t. Vector e2. En este caso, h1 = 3, h2 = h3 = 1 y la solución general de (1) es e2 = (1 − 2α + 5β, α, β). Eligiendo α = β = 0 obtenemos el vector e2 = (1, 0, 0) t. Vector e3. Como en el caso de e1 la solución general de (1) es e1 = (−2α+ 5β, α, β). Elegimos α y β de tal manera que e1 y e3 sean linealmente in- dependientes, por ejemplo α = 1, β = 0 con lo cual obtenemos el vector e3 = (−2, 1, 0)t. En consecuencia, una matriz P que satisface P−1AP = J es P = [ e1 e2 e3 ] = 3 1 −21 0 1 1 0 0  . 12.6. Potencia enésima por forma de Jordan Se considera la matriz A = 2 6 −151 1 −5 1 2 −6  . (a) Determinar la forma canónica de Jordan J de A y una matriz P invertible tal que P−1AP = J. (b) Como aplicación del apartado anterior, hallar An (n ∈ N). Solución. Si J es la forma de Jordan de la matriz A ∈ Kp×p con K = R o K = C, y P ∈ Kp×p es una matriz invertible tal que P−1AP, despejando A obtenemos A = PJP−1 y por tanto An = (PJP−1)(PJP−1) . . . (PJP−1) = PJnP−1, lo cual proporciona un método para calcular la potencia enésima An.