2. Usando el método de Gauss, diagonalizar la forma cuadrática q : R4 → R dada por q(x, y, z, t) = xy + xz + xt+ yz + yt+ zt.

Para diagonalizar uma forma quadrática usando o método de Gauss, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Escreva a forma quadrática na forma matricial. Para isso, identifique os coeficientes de cada termo e organize-os em uma matriz simétrica. No caso da forma quadrática q(x, y, z, t) = xy + xz + xt + yz + yt + zt, a matriz correspondente é: Q = | 0 1 1 1 | | 1 0 1 1 | | 1 1 0 1 | | 1 1 1 0 | 2. Encontre os autovalores da matriz Q. Para isso, resolva a equação característica det(Q - λI) = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Calcule o determinante da matriz Q - λI e igual a zero: | -λ 1 1 1 | | 1 -λ 1 1 | | 1 1 -λ 1 | | 1 1 1 -λ | (1 - λ)³(1 + 3λ) = 0 Os autovalores são λ₁ = 1 e λ₂ = -3. 3. Encontre os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolva o sistema de equações (Q - λI)v = 0, onde v é o autovetor. Para o autovalor λ₁ = 1: (Q - I)v₁ = 0 | -1 1 1 1 | | x | | 1 -1 1 1 | * | y | = 0 | 1 1 -1 1 | | z | | 1 1 1 -1 | | t | Resolvendo o sistema, obtemos v₁ = (1, 1, 1, 1). Para o autovalor λ₂ = -3: (Q + 3I)v₂ = 0 | 3 1 1 1 | | x | | 1 3 1 1 | * | y | = 0 | 1 1 3 1 | | z | | 1 1 1 3 | | t | Resolvendo o sistema, obtemos v₂ = (-1, 1, 1, -1). 4. Os autovetores encontrados formam uma matriz P, onde cada coluna é um autovetor. No caso, temos: P = | 1 -1 | | 1 1 | | 1 1 | | 1 -1 | 5. A matriz diagonal D é formada pelos autovalores na diagonal principal: D = | 1 0 | | 0 -3 | 6. A matriz diagonalizada A é dada por A = PDP⁻¹, onde P⁻¹ é a matriz inversa de P: A = PDP⁻¹ Substituindo os valores, temos: A = | 1 -1 | * | 1 0 | * | 1 1 | | 1 1 | | 0 -3 | |-1 1 | | 1 1 | | 1 1 | | 1 -1 | |-1 1 | Simplificando, obtemos: A = | 4 0 | | 0 -12 | Portanto, a forma quadrática q(x, y, z, t) = xy + xz + xt + yz + yt + zt pode ser diagonalizada como q(x, y, z, t) = 4x² - 12y².