Demostrar que cualquier matriz ortogonal de orden 2 tiene alguna de las dos formas [ cos θ - sen θ sen θ cos θ ] , [ cos θ sen θ sen θ - cos θ ] .

Para demonstrar que qualquer matriz ortogonal de ordem 2 tem uma das duas formas [ cos θ - sen θ sen θ cos θ ] ou [ cos θ sen θ sen θ - cos θ ], podemos usar a propriedade fundamental das matrizes ortogonais. Uma matriz ortogonal é aquela em que a transposta é igual à inversa da matriz. Portanto, se A é uma matriz ortogonal de ordem 2, temos que A^T = A^(-1). Vamos considerar a matriz A = [ a b c d ] como uma matriz ortogonal de ordem 2. A transposta de A é A^T = [ a c b d ]. A inversa de A é A^(-1) = (1/det(A)) * [ d -b -c a ], onde det(A) é o determinante de A. Agora, vamos igualar a transposta de A à sua inversa: A^T = A^(-1) [a c b d] = (1/det(A)) * [ d -b -c a ] Comparando as entradas correspondentes, temos: a = (1/det(A)) * d c = (1/det(A)) * (-b) b = (1/det(A)) * (-c) d = (1/det(A)) * a Podemos simplificar essas equações: a^2 + c^2 = (1/det(A))^2 * (a^2 + c^2) b^2 + d^2 = (1/det(A))^2 * (b^2 + d^2) A partir dessas equações, podemos concluir que (1/det(A))^2 = 1, o que implica que 1/det(A) = ±1. Se 1/det(A) = 1, temos: a^2 + c^2 = a^2 + c^2 b^2 + d^2 = b^2 + d^2 Isso implica que a = d e b = -c. Portanto, a matriz A tem a forma [ cos θ - sen θ sen θ cos θ ]. Se 1/det(A) = -1, temos: a^2 + c^2 = a^2 + c^2 b^2 + d^2 = b^2 + d^2 Isso implica que a = -d e b = c. Portanto, a matriz A tem a forma [ cos θ sen θ sen θ - cos θ ]. Portanto, qualquer matriz ortogonal de ordem 2 tem uma das duas formas mencionadas.