Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que un operador en un espacio eucĺıdeo E sea ortogonal, es que transforme una base ortono...

Para demonstrar que uma condição necessária e suficiente para que um operador em um espaço euclidiano E seja ortogonal é que ele transforme uma base ortonormal em outra ortonormal, podemos seguir os seguintes passos: 1. Suponha que T seja um operador linear em E e que ele transforme uma base ortonormal B em outra base ortonormal C. 2. Para mostrar que T é ortogonal, precisamos verificar duas condições: preservação do produto interno e preservação da norma. 3. Primeiro, vamos verificar a preservação do produto interno. Seja u e v dois vetores em E. O produto interno entre T(u) e T(v) deve ser igual ao produto interno entre u e v. 4. Usando a linearidade de T, temos: ⟨T(u), T(v)⟩ = ⟨T(u), T(v)⟩ = ⟨u, v⟩. 5. Portanto, T preserva o produto interno, o que é uma condição necessária para ser um operador ortogonal. 6. Agora, vamos verificar a preservação da norma. Para qualquer vetor u em E, a norma de T(u) deve ser igual à norma de u. 7. Novamente, usando a linearidade de T, temos: ||T(u)||² = ⟨T(u), T(u)⟩ = ⟨u, u⟩ = ||u||². 8. Portanto, T também preserva a norma, o que é uma condição suficiente para ser um operador ortogonal. 9. Assim, demonstramos que a condição necessária e suficiente para que um operador em um espaço euclidiano E seja ortogonal é que ele transforme uma base ortonormal em outra ortonormal. Espero que isso tenha ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.