Sea N 6= 0 un vector columna de Rn. Sabemos que la matriz de simetŕıa respecto del hiperplano ortogonal a N viene dada por H = I − 2NN T NTN, la c...

Sea N 6= 0 un vector columna de Rn. Sabemos que la matriz de simetŕıa respecto del hiperplano ortogonal a N viene dada por H = I − 2NN T NTN, la cual se llama fórmula de Householder y a la simetŕıa asociada, simetŕıa de Householder. Sea a 6= 0 un vector columna de Rn. Demostrar que existe al menos una simetŕıa H de Householder de modo que el vector Ha tiene todas sus componentes nulas con excepción de la primera. Solución. Consideremos el vector N = a+‖a‖ e1, siendo e1 el primer vector de la base canónica de Rn i.e. e1 = (1, 0, . . . , 0)T . Hallemos Ha : Ha = ( I − 2NN T NTN ) a = Ia− 2NN T NTN a = a−N · 2 N T NTN a. Desarrollemos NTN : NTN = (a+ ‖a‖ e1)T (a+ ‖a‖ e1) = ( aT + ‖a‖ eT1 ) (a+ ‖a‖ e1) = aTa+ ‖a‖ eT1 a+ ‖a‖ aT e1 + ‖a‖ 2 eT1 e1 = ‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉+ ‖a‖ 〈a, e1〉+ ‖a‖2 = 2 ( ‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉 ) . Por otra parte, 2NTa = 2 ( aT + ‖a‖ eT1 ) a = 2 ( aTa+ ‖a‖ eT1 a ) = 2 ( ‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉 ) . En consecuencia, Ha = a−N · 2 N T NTN a = a− (a+ ‖a‖ e1) 2 ( ‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉 ) 2 ( ‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉 ) = a− (a+ ‖a‖ e1) = −‖a‖ e1 =  −‖a‖ 0 ... 0  , como queŕıamos demostrar.