problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (586)

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14.26 Simetŕıa de Householder
14.26. Simetŕıa de Householder
Sea N 6= 0 un vector columna de Rn. Sabemos que la matriz de simetŕıa
respecto del hiperplano ortogonal a N viene dada por
H = I − 2NN
T
NTN
,
la cual se llama fórmula de Householder y a la simetŕıa asociada, simetŕıa
de Householder. Sea a 6= 0 un vector columna de Rn. Demostrar que existe
al menos una simetŕıa H de Householder de modo que el vector Ha tiene
todas sus componentes nulas con excepción de la primera.
Solución. Consideremos el vector N = a+‖a‖ e1, siendo e1 el primer vector
de la base canónica de Rn i.e. e1 = (1, 0, . . . , 0)T . Hallemos Ha :
Ha =
(
I − 2NN
T
NTN
)
a = Ia− 2NN
T
NTN
a = a−N · 2 N
T
NTN
a.
Desarrollemos NTN :
NTN = (a+ ‖a‖ e1)T (a+ ‖a‖ e1) =
(
aT + ‖a‖ eT1
)
(a+ ‖a‖ e1)
= aTa+ ‖a‖ eT1 a+ ‖a‖ aT e1 + ‖a‖
2 eT1 e1
= ‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉+ ‖a‖ 〈a, e1〉+ ‖a‖2 = 2
(
‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉
)
.
Por otra parte,
2NTa = 2
(
aT + ‖a‖ eT1
)
a = 2
(
aTa+ ‖a‖ eT1 a
)
= 2
(
‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉
)
.
En consecuencia,
Ha = a−N · 2 N
T
NTN
a = a− (a+ ‖a‖ e1)
2
(
‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉
)
2
(
‖a‖2 + ‖a‖ 〈e1, a〉
)
= a− (a+ ‖a‖ e1) = −‖a‖ e1 =

−‖a‖
0
...
0
 ,
como queŕıamos demostrar.
	 Producto escalar
	 Gram-Schmidt con integral impropia