Seja a transformação linear T:R2→R2 dada por T(x,y)=(x+3y,-x+5y). (a) Quais são os autovalores da matriz de transformação? (b) Quais são os autovet...

(a) Para encontrar os autovalores da matriz de transformação, precisamos resolver a equação característica. A matriz de transformação é dada por: T(x, y) = (x + 3y, -x + 5y) Podemos escrever essa matriz como: | 1 3 | | -1 5 | A equação característica é dada por: det(A - λI) = 0 Onde A é a matriz de transformação, λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Substituindo os valores, temos: | 1 - λ 3 | | -1 5 - λ | Calculando o determinante dessa matriz e igualando a zero, encontramos a equação característica: (1 - λ)(5 - λ) - (-1)(3) = 0 (λ - 1)(λ - 5) + 3 = 0 λ² - 6λ + 8 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores: λ₁ = 4 λ₂ = 2 Portanto, os autovalores da matriz de transformação são 4 e 2. (b) Para encontrar os autovetores associados, precisamos resolver o sistema de equações: (A - λI)v = 0 Onde A é a matriz de transformação, λ é o autovalor e v é o autovetor. Substituindo os valores, temos: Para λ₁ = 4: | 1 - 4 3 | | x | | 0 | | -1 5 - 4 | * | y | = | 0 | Simplificando o sistema de equações, temos: -3x + 3y = 0 -x + y = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor associado a λ₁ = 4: v₁ = (1, 1) Para λ₂ = 2: | 1 - 2 3 | | x | | 0 | | -1 5 - 2 | * | y | = | 0 | Simplificando o sistema de equações, temos: -x + 3y = 0 -x + 3y = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor associado a λ₂ = 2: v₂ = (3, 1) Portanto, os autovetores associados aos autovalores 4 e 2 são v₁ = (1, 1) e v₂ = (3, 1), respectivamente.