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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
LISTA DE EXERCÍCIOS
 
 
 
1 / 7 
ROTA 1: INTRODUÇÃO E SISTEMAS DE COORDENADAS 
1) Dado o gráfico abaixo, quais as coordenadas de 
cada ponto mostrado? 
 
2) Seja a reta abaixo. Quais as coordenadas dos 
pontos da reta na interseção com os eixos? 
 
3) Seja a região retangular representada no gráfico 
abaixo (sistema cartesiano), onde cada quadrado tem 
lado com uma unidade de tamanho. Defina essa região 
na forma de intervalos, isto é, a≤x≤b e c≤y≤d. 
 
4) Seja o círculo representado no gráfico abaixo 
(sistema cartesiano), onde cada quadrado tem lado 
com uma unidade de tamanho. Qual o centro e o raio 
deste círculo? 
 
ROTA 2: MATRIZES 
5) Seja a matriz ao lado. Responda: 
a) Qual a dimensão da matriz? 
b) Qual o valor de a34? 
c) Qual o valor de a11+a22+a35? 
d) Qual a posição do valor 0? 









−
−=
511652
21843
54102
A 
6) Ache as transpostas das matrizes abaixo. 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
 
 
2 / 7 
a) 










=
614
589
171
A b) 





=
604
321
B c) 










−=
15
13
01
C 
7) Sejam as matrizes abaixo. 










=
614
583
171
A e 










=
612
101
121
B 
Calcule A+B, A-B, AB e BA. 
8) Sejam as matrizes abaixo. 
[ ]10221A = e [ ]12310BT = 
Calcule AB. 
9) Sejam as matrizes abaixo. 
a) 





=
92
31
A b) 










=
614
583
171
B c) 












=
1115
2111
0123
1121
C 
Calcule os determinantes de cada uma delas. 
ROTA 3: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
10) Quais dos sistemas abaixo são sistemas de equações lineares. 
a) 


=+
=+
2yx
1ylnxln
 b) 





=++
=+
=++
0zyx
1y3x2
2zyx
 c) 


=+
=+ −
2yx
3yx 1
 
d) 


=+
=+
4yx
y3yx
 e) 


=+
=+
2yx
10yx 22
 f) 





=
=−
=++
4yz
1y3x2
2zyx
 
11) Resolva os sistemas de equações lineares abaixo. 
a) 


=−
=+
3yx2
3yx
 b) 


=−
=+
1yx
0y2x3
 c) 


=+
=+
2yx
4y2x
 
12) Resolva os sistemas de equações lineares abaixo. 
a) 





=++
=+
=++
0zyx2
1y3x2
2zyx
 b) 





=++
=++
=+
0z2yx
1z2yx2
4yx
 c) 





=++
=++
=+
2zy2x
1zy3x2
2z2y
 
ROTA 4: VETORES 
13) Sejam os vetores no plano mostrados abaixo. 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
 
 
3 / 7 
 
Escreva cada vetor na forma jyixa
rrr
+= (x e y são números). 
14) Sejam os vetores no plano do exercício anterior. Calcule: 
a) wvu
rrr ++ b) wvu rrr −− c) w2vu rrr −+ d) wv3u2 rrr +− 
15) O produto escalar ba
rr
⋅ entre os vetores kajaiaa 321
rrrr
++= e kbjbibb 321
rrrr
++= pode ser calculado 
como 332211 babababa ++=⋅
rr
, ou calculado pela fórmula θ⋅⋅=⋅ cos||b||||a||ba
rrrr
, onde aa||a||
rrr
⋅= , 
bb||b||
rrr
⋅= e θ é o ângulo entre os vetores. 
A grandeza física Trabalho, W, é definida como o produto do deslocamento, d, pela componente da força na 
direção do deslocamento, Fd. Pode ser escrita vetorialmente como o produto escalar entre o vetor força e o vetor 
deslocamento: dFW
rr
⋅= . Assim sendo, dados os pares de força/deslocamento abaixo (Newton e metro, N e m), 
calcule o trabalho realizado e o ângulo formado entre os respectivos vetor deslocamento e vetor força. 
a) i10d
rr
= e ji3F
rrr
+= b) i10d
rr
= e j5F
rr
= c) i10d
rr
= e i4F
rr
= d) id
rr
= e kjiF
rrrr
++= 
16) O produto vetorial ba
rr
× entre os vetores kajaiaa 321
rrrr
++= e kbjbibb 321
rrrr
++= pode ser calculado 
como sendo o determinante da matriz abaixo. 
k)baba(j)baba(i)baba(
bbb
aaa
kji
ba
bbb
aaa
kji
122131132332
321
321
321
321
rrr
rrr
rr
rrr
−+−+−==×→










 
O torque aplicado em um ponto por uma força (como num saca-rolha de garrafas, ou numa chave de roda) pode 
ser calculado pelo produto vetorial entre o vetor posição do ponto aplicação da força em relação ao ponto de 
aplicação do torque, r
r
 ("braço do torque"), e o vetor força, F
r
: FrT
rrr
×= . Assim sendo, calcule os torques para 
os pares de braço/força no plano mostrados abaixo. 
a) i10r
rr
= e j2F
rr
= b) i10r
rr
= e j2i2F
rrr
+= c) i10r
rr
= e i2F
rr
= 
17) O produto vetorial ba
rr
× entre os vetores coplanares kajaiaa 321
rrrr
++= e kbjbibb 321
rrrr
++= pode ser 
calculado pela fórmula �a�� � b��� � ||	�|| ⋅ ||���|| ⋅ �
��, onde aa||a|| rrr ⋅= , bb||b|| rrr ⋅= e θ é o ângulo entre os 
vetores. Usando esta fórmula, verifique se os resultados dos cálculos dos torques do exercício anterior são os 
mesmos (desenhe os vetores para identificar mais facilmente os ângulos). 
18) Sejam as seguintes equações vetoriais de retas no plano e no espaço. 
a) )4,2()1,2()y,x( λ+= ; b) )6,2,2()3,4,1()z,y,x( λ+= . 
Escreva as equações reduzidas para cada uma delas em função de x. 
ROTA 5: CÔNICAS 
19) Defina circunferência, parábola, elipse e hipérbole na forma de lugares geométricos (LG). 
20) Sejam as equações abaixo. Qual cônica cada uma delas representa? 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
 
 
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a) 22 x4y −= b) 4xy4 22 =+ c) 22 x4y4 += d) 2xx4y += 
21) Seja a circunferência (x-2)2+(y-3)2=4. Determine se os pontos abaixo são internos, externos ou estão 
sobre a circunferência. 
a) (0,0) b) (4,3) c) (3,2) d) (0,3) e) (3,5) 
22) Seja a parábola y=x2-5x+6. Determine o seu vértice. 
23) Seja a parábola y=x2-x+A. Determine os valores para A que garantam que y>0 para qualquer x. 
24) Seja a elipse mostrada abaixo. Qual a sua equação na forma padrão? 
 
ROTA 6: ESPAÇOS VETORIAIS 
25) O vetor u=(1,0,-2) é uma combinação linear dos vetores v=(2,1,-1) e w=(3,2,0) na forma u=av+bw (a e b 
reais). Quais os valores de a e b? 
(1,0,-2) = a(2,1,-1) + b(3,2,0) 
X: 1=2a+3b Y: 0=a+2b. 
 
26) O vetor u=(3,2,6) é uma combinação linear dos vetores v=(1,1,1), w=(0,1,1) e z=(1,2,3) na forma 
u=av+bw+cz (a, b e c reais). Quais os valores de a, b e c? 
27) Seja o conjunto de vetores V={(2,0,0), (0,-1,0), (0,0,1/2)}. Esse conjunto é linearmente independente? 
Explique. 
28) O que é uma base ortonormal? Dê um exemplo para o R4. 
ROTA 7: TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
29) Seja a transformação T:R3→R2, T(x,y,z)=(x+y, z+3). Essa transformação é linear. 
30) Seja a transformação linear T:R3→R3, T(x,y,z)=(x+y-z,x-y+z,2z). Calcule T(1,1,1), T(1,-1,1) e T(1,2,3). 
31) Seja a transformação linear T:R3→R3, T(x,y,z)=(x-y-z,x-2y+z,3z+2y+x). Qual a matriz A dessa 
transformação, tal que T(v)=Av, v=(x,y,z). 
32) Sejam as transformações lineares do tipo Ti:R3→R3, T1(x,y,z)=(x-y,x-2y+z,x+y+z) e 
T2(x,y,z)=(x+y,y+z,x). Qual a matriz A da transformação T=T1-T2? 
33) Seja a transformação linear T:R3→R3, T(v)=Av, v=(x,y,z). Essa transformação é de reflexão em relação 
ao plano (x,y). Qual é a matriz A? 
34) Seja a transformação linear T:R3→R3, T(v)=Av, v=(x,y,z). Sabe-se que T(1,1,1)=(2,2,2), T(1,2,3)=(2,4,6) 
e T(4,2,3)=(8,4,6). Qual é a possível matriz A? Que tipo de transformação ela representaria? 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
 
 
5 / 7 
35) O operador linear de rotação no plano pode ser representado como abaixo. 
v
cossen
sencos
'v 





θθ
θ−θ
= 
Se )0,2(v = e (a) ( )3,1'v = e (b) ( )2,2'v = , quais são os ângulos θ? 
� 1√3� � �
��� � −�
��
�
�� ��� � � �
2
0� 
1 � 2cos � 
√3 � 2sin � 
 
ROTA 8: AUTOVALORES, AUTOVETORES E DIAGONALIZAÇÃO 
36) Sejam as matrizes abaixo. Calcule seus autovalores. 
a) 




 −
32
16
 b) 





32
13
 c) 





31
13
 d) 










− 001
121
002
 
37) Seja a transformação linear T:R2→R2 dada por T(x,y)=(2x-y,-3y). Quais são os autovalores da matriz de 
transformação? Determine dois autovetores associados. 
38) Obtenha (a) o polinômio característico, (b) os autovalores e (c) os autovetores da matriz 





11
20
. 
39) Sejaa transformação linear T:R2→R2 dada por T(x,y)=(x+3y,-x+5y). (a) Quais são os autovalores da 
matriz de transformação? (b) Quais são os autovetores associados? 
40) Seja um operador linear T:R2→R2 na base B diagonalizado na base B' e referenciado como T'. 
Assim, conhecido o sistema de mudança de base v=Mv' para a base do operador diagonalizado, os passos para 
calcular T(v) são os seguintes: 
1. obter v' a partir de v usando o sistema v=Mv' (resolver o sistema usando os valores de v para obter v'); 
2. aplicar T' a v' para obter u'=T'(v'); 
3. substituir u' no sistema de mudança de base u=Mu' para obter u (basta multiplicar M por u'); o vetor u é 
T(v). 
Assim sendo, seja o seguinte sistema de mudança de base e o respectivo operador diagonalizado. 












−
=





2
1
2
1
'v
'v
11
61
v
v
 e 





−
=











−
=
2
1
2
1
'v4
'v3
'v
'v
40
03
)'v('T 
Usando este processo, calcular vetor u=T(2,2). 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
 
 
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RESPOSTAS 
1) A: (-3,5); B: (0,3); C: (1,1); D: (-5,0); E: (-3,-3); F: (3,-2); G: (2,-4). 
2) A: (2,0) e B: (0,-1). 
3) -4≤x≤2 e -4≤y≤1. 
4) Centro: (-1,-1); raio: 3. 
5) a) 3 linhas por 5 colunas: 3 x 5; b) 11; c) 1; d) linha 1, coluna 2: a12. 
6) 
a) 










=
651
187
491
AT b) 










=
63
02
41
BT c) 





−
=
110
531
CT 
7) . 










=+
1226
684
292
BA , 










=−
002
482
050
BA , 










=
411417
411121
14310
AB e 










=
432829
785
172411
BA 
8) 9AB = . 
9) |A|=3; |B|=28; |C|=-2. 
10) b e d. 
11) a) (x,y)=(2,1);. b) (x,y)=(2/5,-3/5); c) (x,y)=(0,2). 
12) a) (x,y,z)=(-2,5/3,7/3);. b) (x,y,z)=(1,3,-2); c) (x,y,z)=(-5,4,-1). 
13) . j3iu
rrr +−= , j4i2v
rrr += e j4i3w
rrr −= . 
14) a) j3i4
rr
+ ; b) j3i6
rr
+− ; c) j15i5
rr
+− ; d) j10i5
rr
−− . 
15) a) W= 310 N⋅m; θ=30o; b) W=0 N⋅m; θ=90o; c) W=40 N⋅m; θ=0o; c) W=1 N⋅m; θ=54.7o. 
16) a) k20T
rr
= ; b) k20T
rr
= ; a) k0T
rr
= . 
17) São os mesmos. 
18) a) y=2x-3; b) y=x+3 e z=3x. 
19) Circunferência: LG dos pontos no plano que contém os pontos equidistantes a um ponto dado. Parábola: 
LG dos pontos no plano equidistantes de uma reta dada e de um ponto dado. Elipse: LG dos pontos no 
plano em que a soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. Hipérbole: LG dos pontos no plano em 
que a diferença entre as distâncias a dois pontos fixos é constante. 
20) a) circunferência; b) elipse; c) hipérbole; d) parábola. 
21) a) externo; b) sobre; c) interno; d) sobre; e) externo. 
22) Vértice: (5/2,-1/4). 
23) A>1/4 (∆<0). 
24) 1
9
)1y(
16
)1x( 22 =++− . 
25) a=2; b=-1. 
26) a=-1; b=-4; c=4. 
27) Sim, é LI, pois não é possível combinar quaisquer dois vetores para obter o terceiro. 
28) Uma base B={v1,v2,..,vn) é dita como sendo uma base ortonormal quando os vetores v1, v2,.., vn são todos 
unitários ( ||vi||=1, i=1,2,..,n) e dois a dois ortogonais (vi⊥vj, i, j = 1, 2,.., n, i≠j). 
Exemplo no R4: B={(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}. 
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios 
 
 
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29) T(x1,y1,z1)+T(x2,y2,z2)=(x1+y1,z1+3)+(x2+y2,z2+3)= (x1+y1+x2+y2,z1+z2+6) (A) 
T(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=(x1+y1+x2+y2,z1+z2+3) (B) 
(A)≠(B) → Não é transformação linear! 
30) T(1,1,1)=(1,1,2); T(1,-1,1)=(-1,3,2); T(1,2,3)=(0,2,6). 
31) 










−
−−
=
321
121
111
A . 
32) 










−
−
=
110
031
020
A . 
33) 










−
=
100
010
001
A . 
34) 










=
200
020
002
A , transformação de expansão no espaço. 
35) a) 60o; b) 45o. 
36) a) λ1=4; λ2=5; b) 231 +=λ ; 232 −=λ ; c) λ1=2; λ2=4; d) λ1=0; λ2=2. 
37) λ1=-3; λ2=2; v1=(x1,5x1) e v2=(x1,0) → v1=(1,5) e v2=(1,0). 
38) (a) p(λ)= λ2-λ-2; (b) λ1=2 e λ2=-1; (c) v1=(x1,x1) e v2=(x1, x1/2) → v1=(1,1) e v2=(2,1). 
39) (a) λ1=2, λ2=4; (b) v1=(3,1) e v2=(1,1). 
40) u=(-18,2).