5. (25 %) La siguiente tabla muestra la población de la tierra desde 1950 hasta 2010, según la oficina de censo de los Estados Unidos. Año 1950 ...

Para encontrar o ano em que a população humana atingiria a capacidade máxima do planeta, podemos usar um modelo exponencial e o método dos mínimos quadrados. Vamos calcular: 1. Primeiro, vamos criar uma tabela com os anos e a população em bilhões: Ano | População (bilhões) ----|-------------------- 1950| 2.5 1960| 3.0 1970| 3.5 1980| 4.5 1990| 5.1 2000| 6.0 2010| 6.8 2. Em seguida, vamos calcular o logaritmo natural (ln) da população: Ano | População (bilhões) | ln(População) ----|--------------------|-------------- 1950| 2.5 | 0.916 1960| 3.0 | 1.099 1970| 3.5 | 1.252 1980| 4.5 | 1.504 1990| 5.1 | 1.629 2000| 6.0 | 1.792 2010| 6.8 | 1.916 3. Agora, vamos criar uma nova tabela com os anos ao quadrado e o produto do ano com o ln(população): Ano | ln(População) | Ano^2 | Ano * ln(População) ----|---------------|-------|-------------------- 1950| 0.916 | 3802500 | 1765425 1960| 1.099 | 3841600 | 2116544 1970| 1.252 | 3880900 | 2440188 1980| 1.504 | 3920400 | 2846464 1990| 1.629 | 3960100 | 3237689 2000| 1.792 | 4000000 | 3584000 2010| 1.916 | 4040100 | 3881656 4. Agora, vamos somar todas as colunas: ΣAno = 14060 Σln(População) = 8.008 ΣAno^2 = 27596000 ΣAno * ln(População) = 19867866 5. Agora, vamos usar as fórmulas dos mínimos quadrados para encontrar a equação da reta: a = (n * Σ(Ano * ln(População)) - ΣAno * Σln(População)) / (n * ΣAno^2 - (ΣAno)^2) b = (Σln(População) - a * ΣAno) / n Onde n é o número de pontos (7 neste caso). 6. Substituindo os valores na fórmula: a = (7 * 19867866 - 14060 * 8.008) / (7 * 27596000 - 14060^2) b = (8.008 - a * 14060) / 7 7. Calculando os valores de a e b: a ≈ 0.027 b ≈ -43.857 8. Agora, podemos usar a equação da reta para encontrar o ano em que a população atingiria a capacidade máxima do planeta (26 bilhões): ln(População) = a * Ano + b 26 = 0.027 * Ano - 43.857 0.027 * Ano = 69.857 Ano ≈ 2592 Portanto, de acordo com o modelo exponencial e o método dos mínimos quadrados, a população humana atingiria a capacidade máxima do planeta por volta do ano 2592.