Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo. ¿El resultado se sigue cumpliendo si G no es Abeliano? a. Cerradura:...

Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo. ¿El resultado se sigue cumpliendo si G no es Abeliano?


a. Cerradura: Si ???? y ???? están en H, entonces ????2 = ???? y ????2 = ????. Debemos demostrar que ???????? también está en H, es decir, que (????????)2 = ????. Tenemos: (????????)2 = ????2????2 = ???????? = ????. Por lo tanto, ???????? también está en H, y H es cerrado bajo la operación del grupo.
b. Inversos: Si x está en H, entonces su inverso ????−1 también debe estar en H. Debemos demostrar que ????−2 = ????. Tenemos: (????−1)2 = ????−1????−1 = (????????−1)−1 = ????−1 = ????. Por lo tanto, ????−1 también está en H, y H contiene los inversos de todos sus elementos.
c. Identidad: La identidad del grupo es e, que está en H, ya que ????2 = ????. Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un subgrupo de G.