Sea G grupo Abeliano y sea ???? = {???? ∈ ????|???? 2 = ????}. Muestre que H es subgrupo de G verificando las tres condiciones de subgrupo. ¿El resultado se ...

El resultado se cumple si G no es Abeliano. La demostración de que H es un subgrupo de G se basa en las tres condiciones de subgrupo: cerradura, inversos e identidad. a. Cerradura: Si a y b están en H, entonces a^2 = b y b^2 = c. Debemos demostrar que (ab)^2 = c. Tenemos: (ab)^2 = a^2b^2 = bc = c. Por lo tanto, (ab)^2 también está en H, y H es cerrado bajo la operación del grupo. b. Inversos: Si x está en H, entonces su inverso x^(-1) también debe estar en H. Debemos demostrar que (x^(-1))^2 = x. Tenemos: (x^(-1))^2 = x^(-1)x^(-1) = (xx^(-1))^(-1) = x^(-1) = x. Por lo tanto, x^(-1) también está en H, y H contiene los inversos de todos sus elementos. c. Identidad: La identidad del grupo es e, que está en H, ya que e^2 = e. Como H cumple las tres condiciones de subgrupo, concluimos que H es un subgrupo de G. Es importante destacar que esta demostración se basa en la suposición de que G es un grupo Abeliano. Si G no es Abeliano, las propiedades de cerradura pueden no cumplirse y la demostración no sería válida.