Um certo vírus infecta uma em cada 200 pessoas. Um teste usado para detectar o vírus em uma pessoa d´a positivo 80% das vezes se a pessoa tem o vír...

Vamos resolver o problema utilizando o Teorema de Bayes. (a) Se o teste de uma pessoa dá positivo, queremos determinar a probabilidade dessa pessoa estar infectada. Vamos chamar de P(A) a probabilidade de uma pessoa estar infectada, que é igual a 1/200, já que o vírus infecta uma em cada 200 pessoas. Vamos chamar de P(B) a probabilidade do teste dar positivo. Para calcular essa probabilidade, precisamos levar em consideração duas situações: quando a pessoa está infectada e o teste dá positivo, e quando a pessoa não está infectada e o teste dá positivo. A probabilidade de uma pessoa estar infectada e o teste dar positivo é igual a P(A) * P(B|A), onde P(B|A) é a probabilidade do teste dar positivo, dado que a pessoa está infectada. Nesse caso, P(B|A) é igual a 0,8, já que o teste dá positivo 80% das vezes quando a pessoa está infectada. A probabilidade de uma pessoa não estar infectada e o teste dar positivo é igual a P(~A) * P(B|~A), onde P(~A) é a probabilidade da pessoa não estar infectada e P(B|~A) é a probabilidade do teste dar positivo, dado que a pessoa não está infectada. Nesse caso, P(B|~A) é igual a 0,05, já que o teste dá positivo 5% das vezes quando a pessoa não está infectada. Portanto, P(B) = P(A) * P(B|A) + P(~A) * P(B|~A). Agora podemos calcular a probabilidade de uma pessoa estar infectada, dado que o teste deu positivo, utilizando o Teorema de Bayes: P(A|B) = (P(A) * P(B|A)) / P(B) Substituindo os valores, temos: P(A|B) = (1/200 * 0,8) / P(B) (b) Se o teste de uma pessoa dá negativo, queremos determinar a probabilidade dessa pessoa não estar infectada. Nesse caso, queremos calcular P(~A|~B), ou seja, a probabilidade da pessoa não estar infectada, dado que o teste deu negativo. Podemos utilizar o complemento do evento A para calcular essa probabilidade: P(~A|~B) = 1 - P(A|~B) Onde P(A|~B) é a probabilidade da pessoa estar infectada, dado que o teste deu negativo. Podemos calcular essa probabilidade utilizando o Teorema de Bayes: P(A|~B) = (P(A) * P(~B|A)) / P(~B) Substituindo os valores, temos: P(A|~B) = (1/200 * (1 - 0,8)) / P(~B) Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.