Verifique se S = {(x,y,z) Î R3 | y = x3 + z2} é um subespaço vetorial real de R3. S não é subespaço de R3Sé subespaço de R2S é subespaço de R2 é su...

Resposta correta S não é subespaço de R³

Para verificar se S = {(x, y, z) ∈ R³ | y = x³ + z²} é um subespaço vetorial real de R³, precisamos verificar se ele atende às três condições para ser um subespaço: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) pertence a S. 2. S é fechado sob a adição de vetores. 3. S é fechado sob a multiplicação por um escalar. Vamos analisar cada uma dessas condições: 1. O vetor nulo (0, 0, 0) pertence a S: Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 na equação y = x³ + z², obtemos 0 = 0 + 0, o que é verdadeiro. Portanto, o vetor nulo pertence a S. 2. S é fechado sob a adição de vetores: Suponha que (x₁, y₁, z₁) e (x₂, y₂, z₂) sejam dois vetores quaisquer em S. Precisamos mostrar que sua soma também está em S. Temos y₁ = x₁³ + z₁² e y₂ = x₂³ + z₂². Agora, vamos somar essas duas equações: y₁ + y₂ = (x₁³ + z₁²) + (x₂³ + z₂²) = (x₁³ + x₂³) + (z₁² + z₂²) = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²) + (z₁² + z₂²) Portanto, a soma dos vetores (x₁, y₁, z₁) e (x₂, y₂, z₂) também satisfaz a equação y = x³ + z². Portanto, S é fechado sob a adição de vetores. 3. S é fechado sob a multiplicação por um escalar: Suponha que (x, y, z) seja um vetor em S e k seja um escalar qualquer. Precisamos mostrar que o produto k(x, y, z) também está em S. Temos y = x³ + z². Agora, vamos multiplicar essa equação por k: ky = k(x³ + z²) = kx³ + kz² Portanto, o vetor k(x, y, z) também satisfaz a equação y = x³ + z². Portanto, S é fechado sob a multiplicação por um escalar. Portanto, S = {(x, y, z) ∈ R³ | y = x³ + z²} é um subespaço vetorial real de R³. A alternativa correta é a opção 3: "S é subespaço de R² e subespaço de R³".

resposta incorreta