Verifique se o conjunto S={(x,y)∈R2 | x+y=1} é um subespaço vetorial em R2 e assinale a alternativa correta. a) S é um subespaço vetorial em R2. ...

Para verificar se S é um subespaço vetorial em R2, precisamos verificar se ele atende às duas condições abaixo: 1. S é fechado em relação à adição de vetores. 2. S é fechado em relação à multiplicação por escalar. 1. Para verificar se S é fechado em relação à adição de vetores, precisamos verificar se a soma de dois vetores quaisquer em S também pertence a S. Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2) dois vetores quaisquer em S. Então, temos: x1 + y1 = 1 (porque u pertence a S) x2 + y2 = 1 (porque v pertence a S) Somando as duas equações, obtemos: (x1 + x2) + (y1 + y2) = 2 Mas x1 + x2 e y1 + y2 são as coordenadas do vetor u + v. Portanto, u + v não pertence a S, pois não satisfaz a equação x + y = 1. Logo, S não é fechado em relação à adição de vetores. 2. Para verificar se S é fechado em relação à multiplicação por escalar, precisamos verificar se o produto de um vetor em S por um escalar qualquer também pertence a S. Seja u=(x,y) um vetor qualquer em S e k um escalar qualquer. Então, temos: x + y = 1 (porque u pertence a S) Multiplicando ambos os lados da equação por k, obtemos: kx + ky = k Mas kx e ky são as coordenadas do vetor ku. Portanto, ku pertence a S se e somente se k = k, o que é sempre verdadeiro. Logo, S é fechado em relação à multiplicação por escalar. Concluímos que S não é um subespaço vetorial em R2, pois não é fechado em relação à adição de vetores. Portanto, a alternativa correta é a letra b) S não é um subespaço vetorial em R2.