14. (Fuvest) a) As extremidades de um diâmetro de uma circunferência são (-3,1) e (5,-5). Determine a equação da circunferência. b) Determine a equ...

a) Para determinar a equação da circunferência, podemos usar a fórmula geral da equação de uma circunferência: (x - h)² + (y - k)² = r², onde (h, k) é o centro da circunferência e r é o raio. Sabemos que as extremidades de um diâmetro são (-3,1) e (5,-5). O centro da circunferência é o ponto médio entre esses dois pontos. Podemos calcular o ponto médio usando a fórmula: (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2. (x₁ + x₂)/2 = (-3 + 5)/2 = 2/2 = 1 (y₁ + y₂)/2 = (1 - 5)/2 = -4/2 = -2 Portanto, o centro da circunferência é (1, -2). Agora, precisamos encontrar o raio da circunferência. Podemos usar a distância entre dois pontos para isso. A fórmula da distância entre dois pontos é: √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). √((5 - (-3))² + (-5 - 1)²) = √(8² + (-6)²) = √(64 + 36) = √100 = 10 Assim, o raio da circunferência é 10. Substituindo os valores na fórmula geral da equação da circunferência, temos: (x - 1)² + (y + 2)² = 10² (x - 1)² + (y + 2)² = 100 Portanto, a equação da circunferência é (x - 1)² + (y + 2)² = 100. b) Para determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto (9,√3) e é tangente às retas y = 0 e y = √3x, podemos usar a fórmula geral da equação da circunferência e as propriedades de tangência. Sabemos que o centro da circunferência estará na perpendicular ao ponto de tangência. A reta perpendicular a y = √3x é da forma y = (-1/√3)x + c, onde c é uma constante a ser determinada. Como a circunferência é tangente à reta y = 0, o ponto de tangência será (x, 0). Substituindo na equação da reta perpendicular, temos: 0 = (-1/√3)x + c c = (1/√3)x Portanto, a equação da reta perpendicular é y = (-1/√3)x + (1/√3)x = (-1/√3)x. Agora, precisamos encontrar o centro da circunferência. Sabemos que o centro estará na reta perpendicular e será equidistante do ponto de tangência e do ponto (9,√3). Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para isso. A distância entre o ponto de tangência (x, 0) e o ponto (9,√3) é dada por: √((9 - x)² + (√3 - 0)²) = √((9 - x)² + 3) A distância entre o centro da circunferência (h, k) e o ponto de tangência (x, 0) é dada por: √((x - h)² + (0 - k)²) = √((x - h)² + k²) Como o centro está equidistante dos dois pontos, temos: √((9 - x)² + 3) = √((x - h)² + k²) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: (9 - x)² + 3 = (x - h)² + k² Expandindo os quadrados, temos: 81 - 18x + x² + 3 = x² - 2hx + h² + k² Simplificando, temos: 84 - 18x = -2hx + h² + k² Agora, podemos igualar os coeficientes das variáveis x, h e k: -18 = -2h h = 9 k² = 84 + 18x - 2hx k² = 84 + 18x - 2(9)x k² = 84 + 18x - 18x k² = 84 Portanto, o centro da circunferência é (9, 0) e o raio é √84. Substituindo os valores na fórmula geral da equação da circunferência, temos: (x - 9)² + (y - 0)² = (√84)² (x - 9)² + y² = 84 Portanto, a equação da circunferência é (x - 9)² + y² = 84.